Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.2 - Ex. 2a
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo , do conjunto de todos os pares (x,y), tais que :
Passo 1
A integração será um problema pequeno comparado a visualização, então preste bastante atenção nos gráficos, eles serão nossa bússola em problemas de volume de figuras rotacionadas.
Sem mais enrolação, vamos começar pelo que nos dará a direção, dá uma olhadinha nesses gráficos que estão aqui embaixo:
Inicialmente iremos fazer um esboço dos gráficos das figuras da questão:
E finalmente faremos o gráfico da interseção entre os gráficos acima:
Passo 2
Vamos organizar as ideias, chamaremos de , o volume delimitado pela função e com limite de integração de .
, o volume delimitado pela função e com limite de integração de , lembre-se que a função ( está definida para .
O nosso volume será dado pela subtração entre e
Caso já tenha estudado muito e esquecido, está aí a fórmula, meu amigo!!!
Passo 3
Faremos o cálculo de , vem comigo!
Faremos agora o cálculo de , não se intimide, continuaremos:
Essa integral não é imediata. Então faremos uma mudança de variável, dessa forma ó:
Derivando:
Voltando a variável inicial temos:
Para finalizar o , faremos a integral definida com a indefinida já calculado. Vamos lá!!
Enfim, faremos para terminar a subtração dos dois volumes calculados e dessa forma acabará o nosso sofrimento: