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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 6.2 - Ex. 11

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.

y = x ,       y = x ; em torno de y = 1

Passo 1

Podemos calcular o volume através da fórmula:

V = ∫ a b A x d x

Temos que a área é representada pela figura abaixo:

Sabemos então que a = 0 e b = 1 , vamos calcular a área agora, como rotacional em y = 1 temos:

A x = π R 2 - π r 2 = π 1 - x 2 - π 1 - x 2 = π 1 - 2 x + x 2 - π 1 - 2 x + x = π - 3 x + x 2 + 2 x

Onde usamos os raios como as curvas limites.

Agora vamos esboçar o sólido e o disco:

Pronto, agora só falta calcular o volume:

V = ∫ a b A x d x = ∫ 0 1 π - 3 x + x 2 + 2 x d x = π ∫ 0 1 - 3 x + x 2 + 2 x d x = π ∫ 0 1 - 3 x + x 2 + 2 x 1 2 d x

Passo 2

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k d x = k x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

∫ - 3 x + x 2 + 2 x 1 2 d x = - 3 . x 2 2 + x 3 3 + 2 . x 3 2 3 2 + C = - 3 x 2 2 + x 3 3 + 4 x 3 2 3 + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

V = π ∫ 0 1 - 3 x + x 2 + 2 x 1 2 d x = π - 3 x 2 2 + x 3 3 + 4 x 3 2 3 0 1 = π - 3 . 1 2 2 + 1 3 3 + 4 . 1 3 2 3 - - 3 . 0 2 2 + 0 3 3 + 4 . 0 3 2 3 = π - 3 2 + 1 3 + 4 3 = π 6

Resposta

V = π 6

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36 - Use um teorema de Pappus para determinar o volume gerado pela rotação em torno da reta x=5 da região triangular delimitada pelos eixos coordenados e pela reta 2 x + y=6 .