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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.7 - Ex. 7

7. y = x^2 , y = x^3

Passo 1

Como o enunciado me fornece uma f ( x ) e estamos integrando em relação a y, precisamos encontrar uma f ( y ) .

f_1 (x) = x^2

f_2 (x) = x^3

f_1 (y) = y^((1)/(2))

f_2 (y) = y^((1)/(3))

O gráfico dessa equação é o seguinte:

No eixo x temos: 0 <= x <= 1

No eixo y temos: 0 <= y <= 1

Como podemos observar, temos um anel circular, com raio externo x^3 e raio interno x^2 . Temos a área da seção transversal subtraindo a área do círculo interno da área do círculo externo.

A (y) = pi (f_2 (y) - f_1 (y))

Passo 2

Para obtermos o volume gerado pela revolução de R em torno do eixo y, usaremos a seguinte formula:

V = pi int_a^b [A (y)]^2 d y

Passo 3

Portanto, o volume é:

V = int_0^1 pi (y^((1)/(3)))^2 - pi (y^((1)/(2)))^2 d y

= pi int_0^1 y^((2)/(3)) - y d y

(pi ((y^((5)/(3)))/((5)/(3)) - (y^2)/(2))|_0^1 =

= pi ((3)/(5) - (1)/(2))

= (pi)/(10) u . v .

Resposta

(pi)/(10) u . v .

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