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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.5 - Ex. 28

Encontre os volumes das regiões nos Exercícios 23-36.

A região no primeiro octante delimitada pelos planos coordenados, o plano y = 1 – x e a superfície z = cos (px/2), 0 ≤ x ≤ 1

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para este exercício, a interpretação do problema pode ser expressa através da seguinte integral tripla:

∫ 0 1   ∫ 0 1 - x   ∫ 0 c o s ⁡ π 2   d z d y d x

Saiba que resolvendo a integral é possível determinar o volume do espaço desejado. Vamos lá?

Passo 2

Primeiro passo, integrando em z :

∫ 0 1   ∫ 0 1 - x   c o s ⁡ π x 2 d y d x

Passo 3

Damos continuidade agora integrando em y:

  ∫ 0 1     c o s ⁡ π x 2 [ y ] - x d x   ∫ 0 1     ( 1 - x ) c o s ⁡ π x 2 d x

E desta forma, a integral pode ser dividida em duas partes:

∫ 0 1   c o s ⁡ π x 2 d x - ∫ 0 1   ( x ) c o s ⁡ π x 2 d x

Passo 4

E finalmente, integrando em x , usando a substituição u = π x 2 na segunda parte, teremos:

2 π s e n ⁡ π x 2 0 1 - 4 π 2 ∫ 0 π 2     u c o s ⁡ u   d u 2 π - 4 π 2 [ c o s ⁡ u + u s e n ⁡ u ] 0 π 2 2 π - 4 π 2 π 2 - 1 = 4 π 2

Resposta

Sendo assim, você verá que o volume é igual a 4 π 2 .

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T x y d V Onde T é a região delimitada por z=4 - x 2 ,x = 0 ,y = 0 ,z = 0ey + z = 8 .
Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T ( x - 1 ) d V Onde T é solido delimitado pelos planos y + z = 8 ,- y + z = 8 ,x = 0 ,x = 4 ,z = 0 ,y = - 2ey = 2 .
Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T d V Onde T é o hemisfério da frente da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 .
Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T ( x 2 + y 2 ) d V Onde T é o cilindro x 2 + y 2 ≤ 1 ,0 ≤ z ≤ 4 .
Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T z d V Onde T é a região do primeiro octante limitada por z 2 + y 2 = 2,y = 2 x ,x = 0 .