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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 38

O sólido delimitado abaixo pelo plano xy, dos lados pela esfera

r = 2 e acima pelo cone f = p/3

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício faremos:a. Encontraremos os limites em coordenadas esféricas para a integral que estima o volume do sólido dado, eb. Resolveremos a integral. O sólido delimitado abaixo pelo planoxy, nos lados pela esfera ρ = 2 , e acima pelo cone ϕ = π 3 .

Passo 2

a. O volume referente ao sólido pedido é:

V = ∫ 0 2 π   ∫ π / 3 π / 2   ∫ 0 2   ρ 2 s e n ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

Passo 3

b. Resolveremos então a integral para encontrarmos o volume do sólido:

V = ∫ 0 2 π     ∫ π / 3 π / 2     ∫ 0 2     ρ 2 s e n ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ V = 8 3 ∫ 0 2 π     ∫ π / 3 π / 2     s e n ⁡ ϕ d ϕ d θ V = 8 3 ∫ 0 2 π     [ - c o s ⁡ ϕ ] π / 3 π / 2 d θ V = 4 3 ∫ 0 2 π     d θ V = 8 π 3

Resposta

Resposta: o volume é V = 8 π 3 .

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