Em cada um dos problemas de 1 a 10:

(a) Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em .

(b) Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.

(c) Encontre a solução em série correspondente à maior raiz.

(d) Se as raízes forem diferentes e não diferirem por um inteiro, encontre também a solução em serie correspondente à menor raiz.

5.

b) Vamos usar uma solução em série de polinômios:

Suas derivadas serão:

Substituindo na equação diferencial:

Colocando os termos que estão multiplicando para dentro das séries:

Agora vamos precisar mover os índices das séries por causa daquela potencia na ultima série, repare que ela não tem os dois primeiros termos, e quando , o expoente já começa em . Mas as outras séries possuem os dois primeiros termos, e quando movermos o índice, vamos precisar somar esses termos por fora, assim:

Bom, apareceram termos que estão multiplicando e termos que estão multiplicando colocando eles como fator comum nesses termos de fora da série fica:

Por fim, como as séries começam em , a gente pode colocar tudo dentro de uma série só:

E agora colocamos alguns termos em evidência dentro da série:

A equação indicial, serve só para encontrarmos , e como todos os coeficientes que acompanham os polinômios de devem ser zero para satisfazer a equação, podemos usar o primeiro coeficiente que calculamos para ser nossa equação indicial:

Ou seja:

E as raízes serão:

A relação de recorrência a gente tira dos termos da série, novamente, como todos os coeficientes devem ser zero, isso implica em:

Isolamos :

Como nossa série começa em , não há termo e por isso é igual a zero, como os termos seguintes, , , , acabam dependendo de , todos serão zero também, ou seja, todos os impares.

Substituindo a raiz :

E para incluirmos todos os índices, vamos chamar , então:

Assim, podemos fazer , incluindo também os ímpares sem afetar a nossa série, já que multiplicamos por 2 cada valor de na relação de recorrência. Repare que os sinais invertem toda vez que substituímos um novo valor de , por isso o . Além disso, sempre que deslocamos o índice, aparece multiplicando, por isso o e . Os únicos termos que não podemos colocar de maneira mais compacta são os dos produtos do meio.

E para a raiz :

A relação vai ter uma cara muito parecida, já que a única coisa que precisamos mudar foi o sinal:

c) As raízes não diferem de um inteiro e não são iguais, vamos precisar então de duas soluções distintas, vamos começar pela maior raiz, e na letra (d) a gente faz a menor.

Substituindo a relação de recorrência, omitindo e substituindo a raiz , na nossa solução do Passo 2:

Colocamos um termo fora da série porque supomos uma solução onde começava em zero, mas ao longo da resolução precisamos deslocar o índice duas vezes, e a serie deveria começar em 2. Mas pela nossa substituição:

Quando:

E assim a série passou a começar em , mas isso ainda exclui um termo, , então a gente põe ele do lado de fora da série, que é , colocando ele em evidencia já que aparece em todos os termos da série, a solução ficou daquele jeito.

d) Para a menor raiz a gente fica com algo parecido com a (c):