Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 17

Encontrando funções a partir de derivadas parciais Suponha que f e g sejam funções de x e y , tais que

∂ f ∂ y = ∂ g ∂ x    e    ∂ f ∂ x = ∂ g ∂ y ,

e suponha que

∂ f ∂ x = 0 ,   f ( 1,2 ) = g ( 1,2 ) = 5    e    f ( 0,0 ) = 4 .

Encontre f ( x , y ) e g ( x , y ) .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Você sabe encontrar funções a partir de derivadas parciais? Pois é o que este exercicio pede.Suponha que f e g são funções de x e y e que

∂ f ∂ y = ∂ g ∂ x , ∂ f ∂ x = ∂ g ∂ y

E também que

∂ f ∂ x = 0 , f ( 1,2 ) = g ( 1,2 ) = 5 ,   f ( 0,0 ) = 4

Precisamos encontrar f ( x , y ) e g ( x , y ) .Vamos para a resolução? Acompanhe com atenção!

Passo 2

Se ∂ f ∂ x = 0 então f ( x , y ) = h ( y ) , ou seja, é uma função dependente só de y .Também entendemos que:

∂ g ∂ y = ∂ f ∂ x = 0

Assim, de maneira análoga g ( x , y ) = k ( x ) , ou seja, esta segunda função é dependente somente de x .Além do exposto, temos que:

∂ f ∂ y = ∂ g ∂ x

que podemos concluir? Que h ' ( y ) = k ' ( x ) para todos os valores x e y . Se esses valores são independentes e podem assumir qualquer valor, isso só será verdade se h ' ( y ) = k ' ( x ) = c , onde c é uma constante.

Passo 3

Se h ' ( y ) = k ' ( x ) = c então podemos dizer que as funções são:

h ( y ) = c y + c 1 k ( x ) = c x + c 2

Reescrevendo a mesma função, teremos:

f ( x , y ) = c y + c 1 g ( x , y ) = c x + c 2

Agora, conhecendo os pontos f ( 1,2 ) = g ( 1,2 ) = 5 faremos:

5 = 2 c + c 1 = c + c 2

Utilizando o ponto f ( 0,0 ) = 4 encontramos:

c 1 = 4

Levando a:

c = 1 2

Substituindo em 5 = c + c 2 observamos que:

c 2 = 9 2

Portanto as funções são:

f ( x , y ) = 1 2 y + 4 g ( x , y ) = 1 2 x + 9 2

Resposta

Resposta nos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função. u = s e n ( 1 ⋅ x 1 + 2 ⋅ x 2 + 3 ⋅ x 3 + … + n x n )
Determine as derivadas parciais indicadas. f x , y = l n( x + x 2 + y 2 ) f x 3,4
Determine as derivadas parciais indicadas.40 – f x , y = a r c t g x y , f x 2,3 .
Determine as derivadas parciais indicadas.43 – f x , y , z = y x + y + z ;f y ( 2,1 , - 1 )
Determine as derivadas parciais indicadas. f x , y , z = s e n 2 x + s e n 2 y + s e n 2 z f z 0,0 , π 4