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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 22

Perfurando o solo Em uma superficie plana de terra, geólogos fizeram um furo diretamente para baixo e atingiram um depósito mineral a 1.000 pés. Eles fizeram um segundo furo 100 pés ao norte do primeiro e atingiram um depósito mineral a 950 pés. Um terceiro furo 100 pés a leste do primeiro furo atingiu o depósito mineral a 1.025 pés. Os geólogos têm motivos para acreditar que o depósito mineral tem o formato de um domo e, por razões de economia, eles desejam descobrir onde o depósito está mais próximo da superficie. Considerando a superficie sendo o plano x y , em qual direção a partir do primeiro furo você sugeriria que os geólogos fizessem seu quarto furo?

Equação do calor unidimensional S e ⁡ w ( x , t ) representa a temperatura na posição x no tempo t em um fio uniforme com lados perfeitamente isolados, então as derivadas parciais w x x e w t satisfazem uma equação diferencial da forma

w x x = 1 c 2 w t .

Essa equação é denominada equação do calor umidimensional. O valor da constante positiva c 2 é determinado pelo material a partir do qual o fio é feito.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Este exercício traz um problema com relação à perfuração de solo por geólogos. Temos a informação de que o minério se deposita em um local com formato de domo e é preciso descobrir onde o depósito é mais próximo da superfície. Então, assumindo que a superfície seja o plano x y , em que direção do primeiro furo os geólogos deveriam perfurar um quarto buraco?Reveja no enunciado os valores das perfurações e vamos aos cálculos!

Passo 2

Suponha que a superfície (fronteira) do depósito de mineral é o gráfico z = f ( x , y ) , onde z aponta a direção para cima.Então - ∂ f ∂ x i - ∂ f ∂ y j + k é um vetor exterior normal ao depósito de mineral em ( x , y ) e ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j aponta na direção da subida mais íngreme do depósito de mineral.

Este é a direção do vetor ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j em ( 0,0 ) , isto é, o local do primeiro furo, no qual o geólogos devem furar o quarto furo.Para aproximar este vetor, usamos o fato de que ( 0,0 , - 1000 ) , ( 0,100 , - 950 ) e ( 100,0 , - 1025 ) estão sobre o gráfico z = f ( x , y ) . O plano então contendo estes três pontos é uma boa aproximação do plano tangente à z = f ( x , y ) no ponto ( 0,0 , 0 ) .Um plano normal é:

i j k 0 100 50 100 0 - 25 = - 2500 i + 5000 j - 10,000 k

Ou simplesmente o - i + 2 j - 4 k Assim, em ( 0,0 ) , o vetor ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j é aproximadamente - 1 + 2 j .Portanto, os geólogos deveriam perfurar na direção 1 5 ( - 1 + 2 j ) a partir do primeiro buraco feito.

Resposta

Resposta nos passos.

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