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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 90

Equação do calor

Uma equação diferencial parcial importante que descreve a distribuição do calor em uma região no tempo t pode ser representada pela equação do calor unidimensional

Mostre que u ( x ,   t )   =   s e n   ( a x )   ∙   e – b t satisfaz a equação de calor para constantes a e b. Qual é a relação entre a e b para essa função ser uma solução?

Passo 1

Primeiramente temos uma equação do calor

∂ f ∂ t = ∂ 2 f ∂ x 2

Passo 2

∂ t u ( x , t ) = ∂ t s i n ⁡ ( α x ) ⋅ e - β t = s i n ⁡ ( α x ) ∂ t e - β t = - β s i n ⁡ ( α x ) ⋅ e - β t ∂ x u ( x , t ) = ∂ t s i n ⁡ ( α x ) ⋅ e - β t = ∂ t ( s i n ⁡ ( α x ) ) ⋅ e - β t = α c o s ⁡ ( α x ) ⋅ e - β t ∂ x x u ( x , t ) = ∂ x α c o s ⁡ ( α x ) ⋅ e - β t = - α 2 s i n ⁡ ( α x ) ⋅ e - β t ∂ t u ( x , t ) = ∂ x x u ( x , t ) - β s i n ⁡ ( α x ) ⋅ e - β t = - α 2 s i n ⁡ ( α x ) ⋅ e - β t

Assim concluímos que para esta função ser solução da equação do calor temos que ter α 2 = β

Resposta

Para que esta função seja uma solução da equação do calor, temos que ter α 2 = β

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