Seja f x , y = x y 2 x 2 + y 4 , 0 , x , y ≠ 0,0 x , y = 0,0 Mostre que f x 0 ,0 ef y ( 0 ,0 ) existem, masf não é diferenciável em ( 0 ,0 ) . (Sugestão: utilize o Teorema 4 e mostre que f não é contínua em ( 0 ,0 ).)

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 91

Seja

Mostre que existem, mas não é diferenciável em . (Sugestão: utilize o Teorema 4 e mostre que f não é contínua em ).)

Passo 1

Oii pessoal, show de bola??

“A loucura é como a gravidade, só precisa de um empurrãozinhooo...”

Bora empurrar e macetar essa questãozinha comigo agora

Vamos considerar a seguinte função:

O objetivo é mostrar que existem, mas f não é diferenciável em .

Lembre-se do seguinte resultado:

Suponha que a função seja diferençável em , então é contínua em .

Passo 2

Vamos mostrar que não e diferenciável em

Primeiro, determinaremos

Passo 3

Claramente existem.

Agora para provar que a função não é diferenciável assuma o caminho geral e vamos substituir o valor de nas equações encontradas no passo anterior, como mostrarei a seguir:

É evidente pelos cálculos acima que a função contém um valor constante m. Isso mostra que a função não é diferenciável. Os mesmos cálculos podem ser realizados para a função ao diferenciar em relação a y.

“Faça seus medos terem medo de você”