Se uma função ƒ(x, y) tiver derivadas parciais de segunda ordem contínuas em uma região aberta R, as derivadas parciais de primeira ordem de ƒ devem ser contínuas em R? Justifique sua resposta.

Passo 1

Primeiramente tomamos as primeiras derivadas ∂ x f   e   ∂ y f .

Em seguida, tomamos segundas derivadas parciais, que são contínuas, e aplicamos Teorema 3 e Teorema 4.

Podemos ver que uma segunda derivada parcial de f é na verdade uma primeira derivada parcial de ∂ x f   e   ∂ y f assim podemos usar esses teoremas.

Resposta

Estamos usando Teoremas 3 e 4 nas primeiras derivadas parciais da função f(x,y)

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