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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.9 - Ex. 19

A Equação de Diferenças Logística. Os problemas de 14 a 19 tratam da equação de diferenças (21) μ n + 1 = ρ ⋅ μ n ⋅ 1 - μ n .

Seja ρ k o valor de ρ para o qual a solução da Eq.(21) muda do período 2 k - 1 para o período 2 k . Então, como observado no texto, ρ 1 = 3 , ρ 2 ≈ 3,449 e ρ 3 ≈ 3,544 .

  1. Usando esses valores para ρ 1 , ρ 2 e ρ 3 , ou os que você encontrou no problema 18, calcule ( ρ 2 - ρ 1 ) / ( ρ 3 - ρ 2 )   .
  2. Seja δ n = ( ρ n - ρ n + 1 ) / ( ρ n + 1 - ρ n ) . Pode-se mostrar que δ n tende a um limite δ quando n → ∞ , onde δ ≈ 4,6692 é conhecido como o número de Feigenbaum. Determine a diferença percentual entre o valor limite δ e δ 2 , como calculado no item (a).
  3. Suponha que δ 3 = δ e use essa relação para estimar ρ 4 , o valor de ρ para o qual aparecem soluções de período 16.
  4. Fazendo o gráfico ou calculando soluções próximas do valor de ρ 4 encontrado no item (c), tente detectar a aparição de uma solução de período 16.
  5. Observe que

ρ n = ρ 1 + ρ 2 - ρ 1 + ρ 3 - ρ 2 + … + ρ n - ρ n - 1 .

Suponto que ρ 4 - ρ 3 = ρ 3 - ρ 2 ⋅ δ - 1 , ρ 5 - ρ 4 = ρ 3 - ρ 2 ⋅ δ - 2   e assim por diante, expresse ρ n como uma soma geométrica. Depois encontre o limite de ρ n quando n → ∞ . Isto é uma estimativa do valor de ρ no qual começa a aparecer comportamento caótico na solução da equação logística (21).

Passo 1

Nesse exercício, vamos fazer os cálculos indicados em cada item com os valores dos itens exercícios anteriores. Faremos também gráficos com o auxilio de um software para plotar pontos.

Passo 2

  1. Vamos lá. Utilizando os valores que já nos é dado no enunciado (para facilitar nossas vidas), temos que:

    2. δ 2 = ρ 2 - ρ 1 ρ 3 - ρ 2 = 3,449 - 3 3,544 - 3,449 = 4,7263

    Passo 3

  2. Bom, temos que a diferença percentual é definida como:

    3. d i f e = a - b a ⋅ 100 %

    Substituindo a = δ e b = δ 2 , teremos que

    d i f e = δ - δ 2 δ ⋅ 100 % = 4,6692 - 4,7263 4,6692 ⋅ 100 % = 1,2232 %

    Passo 4

  3. Usando a mesma relação dada no item (a), porém agora para ρ 4 , teremos que:

    4. ρ 3 - ρ 2 ρ 4 - ρ 3 = δ

    Isolando ρ 4 e substituindo nossos valores, teremos que:

    ρ 4 = ρ 3 - ρ 2 δ + ρ 3 = 3,5643

    Passo 5

  4. Nosso gráfico para esse valor de ρ se torna algo do tipo:

    5. Onde temos uma solução de período 16 quando ρ ≈ 3,565 .

    Passo 6

  5. Esse item vai dar um pouquinho mais de trabalho, mas vamos lá! Pela forma que o enunciado nos da as igualdades, temos que

ρ 4 - ρ 3 = ρ 3 - ρ 2 ⋅ δ - 1

ρ 5 - ρ 4 = ρ 3 - ρ 2 ⋅ δ - 2

.

.

.

ρ n + 1 - ρ n = δ n 2 - n ⋅ ρ n - ρ n - 1

Se assumirmos que δ n = δ , vamos ter que:

ρ n + 1 - ρ n = δ 2 - n ⋅ ρ n - ρ n - 1

Onde n ≥ 2 . Como queremos uma soma geométrica, temos que escrever na forma da mesma, assim:

ρ n = ρ 1 + ρ 2 - ρ 1 + ρ 3 - ρ 2 + … + ρ n - ρ n - 1 =

= ρ 1 + ρ 2 - ρ 1 + ρ 3 - ρ 2 ⋅ [ 1 + δ - 1 + δ - 2 + … + δ 3 - n =

= ρ 1 + ρ 2 - ρ 1 + ρ 3 - ρ 2 ⋅ 1 - δ 4 - n 1 - δ - 1 =

E quando aplicamos limite a ela, chegamos em

lim n → ∞ ⁡ ρ n = ρ 2 + ρ 3 - ρ 2 ⋅ δ δ - 1 = 3,5699

Resposta

  1. 4,7263
  2. 1,2232 %
  3. 3,5643
  4. ρ ≈ 3,565
  5. lim n → ∞ ⁡ ρ n = 3,5699
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