A Equação de Diferenças Logística. Os problemas de 14 a 19 tratam da equação de diferenças (21) μ n + 1 = ρ ⋅ μ n ⋅ 1 - μ n .Seja ρ k o valor de ρ para o qual a solução da Eq.(21) muda do período 2 k - 1 para o período 2 k . Então, como observado no texto, ρ 1 = 3 , ρ 2 ≈ 3,449 e ρ 3 ≈ 3,544 .Usando esses valores para ρ 1 , ρ 2 e ρ 3 , ou os que você encontrou no problema 18, calcule ( ρ 2 - ρ 1 ) / ( ρ 3 - ρ 2 ) .Seja δ n = ( ρ n - ρ n + 1 ) / ( ρ n + 1 - ρ n ) . Pode-se mostrar que δ n tende a um limite δ quando n → ∞ , onde δ ≈ 4,6692 é conhecido como o número de Feigenbaum. Determine a diferença percentual entre o valor limite δ e δ 2 , como calculado no item (a).Suponha que δ 3 = δ e use essa relação para estimar ρ 4 , o valor de ρ para o qual aparecem soluções de período 16.Fazendo o gráfico ou calculando soluções próximas do valor de ρ 4 encontrado no item (c), tente detectar a aparição de uma solução de período 16.Observe que ρ n = ρ 1 + ρ 2 - ρ 1 + ρ 3 - ρ 2 + … + ρ n - ρ n - 1 .Suponto que ρ 4 - ρ 3 = ρ 3 - ρ 2 ⋅ δ - 1 , ρ 5 - ρ 4 = ρ 3 - ρ 2 ⋅ δ - 2 e assim por diante, expresse ρ n como uma soma geométrica. Depois encontre o limite de ρ n quando n → ∞ . Isto é uma estimativa do valor de ρ no qual começa a aparecer comportamento caótico na solução da equação logística (21).

4,7263 1,2232 % 3,5643 ρ ≈ 3,565 lim n → ∞ ⁡ ρ n = 3,5699

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.9 - Ex. 19

A Equação de Diferenças Logística. Os problemas de 14 a 19 tratam da equação de diferenças (21) .

Seja o valor de para o qual a solução da Eq.(21) muda do período para o período . Então, como observado no texto, , e .

Usando esses valores para , e , ou os que você encontrou no problema 18, calcule .

Seja . Pode-se mostrar que tende a um limite quando , onde é conhecido como o número de Feigenbaum. Determine a diferença percentual entre o valor limite e , como calculado no item (a).

Suponha que e use essa relação para estimar , o valor de para o qual aparecem soluções de período 16.

Fazendo o gráfico ou calculando soluções próximas do valor de encontrado no item (c), tente detectar a aparição de uma solução de período 16.

Observe que

.

Suponto que , e assim por diante, expresse como uma soma geométrica. Depois encontre o limite de quando . Isto é uma estimativa do valor de no qual começa a aparecer comportamento caótico na solução da equação logística (21).

Passo 1

Nesse exercício, vamos fazer os cálculos indicados em cada item com os valores dos itens exercícios anteriores. Faremos também gráficos com o auxilio de um software para plotar pontos.

Passo 2

Vamos lá. Utilizando os valores que já nos é dado no enunciado (para facilitar nossas vidas), temos que:

Passo 3

Bom, temos que a diferença percentual é definida como:

Substituindo e , teremos que

Passo 4

Usando a mesma relação dada no item (a), porém agora para , teremos que:

Isolando e substituindo nossos valores, teremos que:

Passo 5

Nosso gráfico para esse valor de se torna algo do tipo:

Onde temos uma solução de período 16 quando .

Passo 6

Esse item vai dar um pouquinho mais de trabalho, mas vamos lá! Pela forma que o enunciado nos da as igualdades, temos que

Se assumirmos que , vamos ter que:

Onde . Como queremos uma soma geométrica, temos que escrever na forma da mesma, assim:

E quando aplicamos limite a ela, chegamos em

Resposta

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Em cada um dos problemas de 1 a 6, resolva a equação de diferenças dada em função de y 0 . y n + 1 =0 , 5 y n + 6 Descreva comportamento da solução quando n→∞

Em cada um dos problemas de 1 a 6, resolva a equação de diferenças dada em função de y 0 . y n + 1 =- 0,9 y n Descreva comportamento da solução quando n→∞

Em cada um dos problemas de 1 a 6, resolva a equação de diferenças dada em função de y 0 . y n + 1 = - 1 n + 1 y n Descreva comportamento da solução quando n→∞

Em cada um dos problemas de 1 a 6, resolva a equação de diferenças dada em função de y 0 . y n + 1 = n + 3 n + 1 y n Descreva comportamento da solução quando n→∞

Em cada um dos problemas de 1 a 6, resolva a equação de diferenças dada em função de y 0 . y n + 1 =- 0,5 y n + 6 Descreva comportamento da solução quando n→∞