Uma equação integral é uma equação que contém uma função desconhecida y(x) e uma integral que envolve y(x). Resolva a determinada equação integral. [Dica: Use uma condição inicial obtida da equação integral.]

y x = 4 + ∫ 0 x 2 t y ( t )   d t  

Passo 1

Para começarmos a resolver a equação integral podemos calcular a derivada de y ( x ) .

y ' x = 2 x y ( x )

No enunciado temos que o termo da integral está escrito em função de t e aqui escrevemos em função de x. Isso ocorre pois na integral precisamos diferenciar quem estamos integrando e quem é nosso limite de integração. Mas é valido lembrar que y é uma função de x e não de t.

Desta forma temos que:

d y d x = 2 x y

Passo 2

Para encontrarmos a solução da equação diferencial podemos deixar todos os termos que depende de y de um lado da equação e todos os termos que dependem de x do outro lado da equação.

d y y = 2 x   d x

Estando seperadas as variáveis, podemos integrar ambos os lados. Sendo uma integral indefinida.

∫ d y y = ∫ 2 x   d x

2 y = x 2 + C

Passo 3

Para calcular quanto vale C precisamos de alguma condição inicial, para isso podemos olhar para os limites de integração da expressão y x = 4 + ∫ 0 x 2 t y ( t )   d t . Esses limites de integração falam que x começa em 0 e vai até uma valor x qualquer , como queremos apenas a condição inicial então vamos utilizar x = 0 .

Claculando y ( 0 ) otemos: y 0 = 4

Sabendo quanto vale x e y, podemos agora calcular o valor de C a partir da equação:

2 y = x 2 + C

2 4 = 0 2 + C

C = 4

Passo 4

Substituindo o valor de C no resultado que obtemos após a integração, encontramos a solução da equação integral.

2 y = x 2 + 4

y = x 2 2 + 2 2

Resposta

y = x 2 2 + 2 2

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