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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.1 - Ex. 4

  1. Uma das equações básicas dos circuitos elétricos é

1                                                                         L d i d t + R i = E t

Onde L(henry) é a indutância. R(ohms) é a resistência, i(ampère) é a corrente e E(volt) a força eletromotriz.

  1. Resolva 1 supondo L e R constantes não-nulas, E t = E 0   p a r a todo t e i = 0 para t = 0.
  2. Resolva 1 supondo L = 2, R = 10, E(t) = 110 sen 120πt e i = 0 para t = 0.

Passo 1

Como provado no livro,

d x d t + a x = f t

x = k e - a t + e - a t ∫ e a t f t d t

Passo 2

aplicando em nossa questão:

a)

d i d t + R L i = E 0 L

a = R L ,   f t = E 0 L

i = k e - R L t + e - R L t ∫ e R L t E 0 L d t

b)

d i d t + 10 2 i = 110 s e n 120 π t 2

a = 5 ,   f t = 55 s e n 120 π t

i = k e - 5 t + e - 5 t ∫ e 5 t 55 s e n 120 π t d t

Passo 3

Resolvendo...

a)

i = k e - R L t + e - R L t ∫ e R L t E 0 L d t

= k e - R L t + e - R L t e R L t E 0 L

= k e - R L t + E 0 L e R L t e R L t

= k e - R L t + E 0 L

b)

i = k e - 5 t + e - 5 t ∫ e 5 t 55 s e n 120 π t d t

= k e - 5 t + e - 5 t 11 e 5 t s e n 120 π t - 24 π c o s 120 π t 576 π 2 + 1

Resposta

  1. i = k e - R L t + E 0 L
  2. i = k e - 5 t + 11 s e n   120 π t - 24 π ⋅ c o s   120 π t 576 π 2 + 1
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15. Resolva o problema de valor inicial y ' + y = x + e x , y 0 = 0 .
Resolva o problema de valor inicial 2 x y ' + y = 6 x , x0 ,y 4 = 20 .
Resolva a equação diferencial s e n x d y d x+ cos ⁡ x y = s e n x 2
14 Resolva a equação diferencial t ln ⁡ t d r d t + r = t e t
Resolva o problema de valor inicial d v d t - 2 t v = 3 t 2 e t 2 ,v 0 = 5 .