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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 9.5 - Ex. 15

15. Resolva o problema de valor inicial y^' + y = x + e^x , y (0) = 0 .

Passo 1

Temos que a EDO é linear, com P (x) = 1 e Q (x) = x + e^x .

Passo 2

Lembrando que o fator integrante é dado por I (x) = e^(int P (x) d x) , ou seja I (x) = e^(int 1 d x) = e^x .

Passo 3

Sabendo que dado o fator integrante I ( x ) , a solução y ( x ) é dada por y (x) = (1)/(I ( x )) [int I (x) Q (x) d x + C] . Já sabemos que I (x) = e^x e que Q (x) = x + e^x .

Passo 4

Então precisamos calcular int e^x (x + e^x) d x = int (x e^x + e^(2 x)) d x = int x e^x d x + int e^(2 x) d x . Utilizando o método da integração por partes na primeira integral, onde int u d v = u v - int v d u . Tomando u = x e d v = e^x , então d u = 1 e v = e^x . Então int x e^x d t = x e^x - int e^x d x = x e^x - e^x . Para calcular a segunda integral, fazemos u = 2 x , então d u = 2 d x , isto é, d x = (d u)/(2) . Temos que int e^(2 x) d x = (int e^u d u)/(2) = (e^u)/(2) = (e^(2 x))/(2) . Então int e^x (x + e^x) d x = x e^x - e^x + (e^(2 x))/(2) y (x) = (1)/(e^x) [x e^x - e^x + (e^(2 x))/(2) + C] .

Passo 5

Sabemos que y (0) = 0 . Então (1)/(e^0) [0 * e^0 - e^0 + (e^(2 * 0))/(2) + C] = 0 . Como e^0 = 1 , segue que - 1 + (1)/(2) + C = 0 e C = (1)/(2)

Resposta

y (x) = (1)/(e^x) [x e^x - e^x + (e^(2 x))/(2) + (1)/(2)]

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