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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 9.5 - Ex. 18

Resolva o problema de valor inicial 2 x y^' + y = 6 x , x > 0 , y (4) = 20 .

Passo 1

Dividindo ambos os termos por 2 x , temos y^' + (1)/(2 x) y = 3 então a EDO é linear, com P (x) = (1)/(2 x) e Q (x) = 3 .

Passo 2

Lembrando que o fator integrante é dado por I (x) = e^(int P (x) d x) , ou seja I (x) = e^(int (1)/(2 x) t d t) = e^((ln x)/(2)) = x^((1)/(2)) .

Passo 3

Sabendo que dado o fator integrante I ( x ) , a solução y ( x ) é dada por y (x) = (1)/(I ( x )) [int I (x) Q (x) d x + C] . Já sabemos que I (x) = x^((1)/(2)) e que Q (x) = 3 .

Passo 4

Então precisamos calcular int x^((1)/(2)) * 3 d t = 3 int x^((1)/(2)) d t = (2)/(3) * 3 x^((3)/(2)) = 2 x^((3)/(2)) . Então y (x) = (1)/(x^((1)/(2))) [2 x^((3)/(2)) + C] .

Passo 5

Sabemos que y (4) = 20 . Então (1)/(4^((1)/(2))) [2 * 4^((3)/(2)) + C] = 20 . segue que C = 24

Resposta

y (x) = (1)/(x^((1)/(2))) [2 x^((3)/(2)) + 24]

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