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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 9.5 - Ex. 14

14 Resolva a equação diferencial t ln t (d r)/(d t) + r = t e^t

Passo 1

Temos que a EDO é linear, pois dividindo ambos os lados por t ln t temos r^' + (1)/(t ln t) r = (e^t)/(ln t) e portanto temos P (t) = (1)/(t ln t) e Q (t) = (e^t)/(ln t) .

Passo 2

Lembrando que o fator integrante é dado por I (t) = e^(int P (t) d t) , ou seja:

I (t) = e^(int (1)/(t ln t) d t)

Então fazemos ln t = u , de modo que d u = (1)/(t) d t , então se a gente susbituir na nossa equação, vamos obter que:

I (t) = e^(int (1)/(u) d u)

I (t) = e^(ln |u|)

E como u = ln t :

I (t) = e^(ln |ln t|)

E já que ln |ln t| só está definida para t >= e , então podemos retirar o módulo, logo:

I (t) = e^(ln (ln t))

I (t) = ln t

Passo 3

Sabendo que dado o fator integrante I ( t ) , a solução u ( t ) é dada por:

u (t) = (1)/(I ( t )) [int I (t) Q (t) d t + C]

Já sabemos que I (t) = ln t e que Q (t) = (e^t)/(ln t) . Então quer dizer que precisamos calcular:

int ln t * (e^t)/(ln t) d t

int e^t d t = e^t

Sendo assim, teremos que u (t) será:

u (t) = (1)/(I (t)) [int I (t) Q (t) d t + C]

u (t) = (1)/(ln t) [e^t + C]

Resposta

u (t) = (1)/(ln t) [e^t + C] .

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