Considere o problema de valor de contorno L y = - p x y ' ' + q x y = μ r x y + f x a 1 y 0 + a 2 y ' 0 = 0 , b 1 y 1 + b 2 y ' 1 = 0 De acordo com o texto, a solução y = ϕ ( x ) é dada pela Eq. (13), onde c n é definido pela Eq. (9), desde que μ não seja um autovalor do problema homogêneo correspondente. Nesse caso, pode-se mostrar, também, que a solução é dada por uma integral envolvendo a função de Green da forma y = ϕ x = ∫ 0 1 G x , s , μ f x d s Note que, nesse problema, a função de Green depende, também, do parâmetro μ . a) Mostre que, para que essas duas expressões para ϕ x sejam equivalentes, é preciso que G x , s , μ = ∑ i = 1 ∞ ϕ i x ϕ i s λ i - μ onde λ i e ϕ i são os autovalores e autofunções, respectivamente, das Eqs. (3), (2) do texto. Novamente, vemos, da Eq. (iv), que μ não pode ser igual a nenhum autovalor λ i . b) Deduza a Eq. (iv), diretamente, supondo que G ( x ,s ,μ ) tem uma expansão em autofunção da forma G x , s , μ = ∑ i = 1 ∞ a i x , μ ϕ i s ; determine a i ( x ,μ ) multiplicado a Eq. (v) por r s ϕ i s e integrando em relação a s de s = 0as = 1 .Sugestão:Mostre, primeiro, que λ i e ϕ i satisfazem a equação ϕ i x = λ i - μ ∫ 1 G x , s , μ r s ϕ i s d s

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.3 - Ex. 35

Considere o problema de valor de contorno

De acordo com o texto, a solução é dada pela Eq. (13), onde é definido pela Eq. (9), desde que não seja um autovalor do problema homogêneo correspondente. Nesse caso, pode-se mostrar, também, que a solução é dada por uma integral envolvendo a função de Green da forma

Note que, nesse problema, a função de Green depende, também, do parâmetro

a) Mostre que, para que essas duas expressões para sejam equivalentes, é preciso que

onde e são os autovalores e autofunções, respectivamente, das Eqs. (3), (2) do texto. Novamente, vemos, da Eq. (iv), que não pode ser igual a nenhum autovalor

b) Deduza a Eq. (iv), diretamente, supondo que tem uma expansão em autofunção da forma

determine multiplicado a Eq. (v) por e integrando em relação a de .

Sugestão:Mostre, primeiro, que e satisfazem a equação

Passo 1

a) Procedemos mostrando que se a expressão dada pela Eq (iv) foi substituída dentro da integral da Eq (iii), o resultado é a solução do problema não homogêneo. Desde que nós possamos trocar o somatório e a integral

Note que

Então

Como dado pela equação (13) no texto. É assumido então que as autofunções são normalizadas e

Passo 2

b) Para qualquer valor corrigido de x, é uma função de e do paramêtro . Com a suposição correta em , podemos escrever a expansão da autofunção como

Como as autofunções são ortogonais em relação a

Passo 3

Agora façamos

Baseado na associação conseguimoes notar que

Com o objetivo de avaliar o lado esquerdo da igualdade, nós consideramos a expansão da autofunção

Isso nos da que

Então

E com

Passo 4

Rearrumando os termos nós encontramos que

Como os autovalores são linearmente independentes, , logo

Concluimos então que

O que verifica que

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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