O que está errado na equação?

∫ π 3 π sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ = sec ⁡ θ π 3 π = - 3

Passo 1

Galera... nessa questão nos é dada a seguinte integral:

∫ π 3 π sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

E o enunciado diz que o resultado é:

sec ⁡ θ π 3 π = - 3

E nos pergunta qual é o erro dessa resposta.

Bom, primeiro, para uma função ser integrável é necessário que ela seja contínua no intervalo de integração.

Passo 2

A função f θ = sec ⁡ θ tan ⁡ θ é dada como:

f θ = 1 cos ⁡ θ × s e n θ cos ⁡ θ

No intervalo que vai de π 3 até π , temos que no ponto x = π 2 do intervalo o cosseno vale zero e portanto essa função possui uma descontinuidade, afinal não podemos dividir por zero.

Se esboçarmos o gráfico de f θ = s e c ⁡ ( θ ) t a n ⁡ ( θ ) , ficamos com

Pelo gráfico, conseguimos ver que há uma descontinuidade na função no ponto θ = π / 2   , pois

lim θ → π 2 ⁡ t a n ⁡ ( θ ) = ∞

, então, podemos concluir que f θ = s e c ⁡ ( θ ) t a n ⁡ ( θ ) não é contínua no intervalo π 3   , π .

Como ela não é contínua nesse intervalo, a parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo não pode ser aplicado, então esta integral não existe.

Resposta

∫ π 3 π sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ   ∄

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