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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.14 - Ex. 19d

Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.

d) r → t = t - 1 ,   t 2 - 2 t + 1 , t ∈ - 1,2

Passo 1

A curva que ele nos deu foi a seguinte:

r → t = t - 1 ,   t 2 - 2 t + 1

Assim,

x = t - 1 y = t 2 - 2 t + 1

Olhando para expressão do y :

y = t 2 - 2 t + 1

Mas essa expressão é uma velha conhecida nossa, olha só:

t - 1 2 = t 2 - 2 t + 1

Logo,

y = t - 1 2

Como x = t - 1 :

y = x 2

Passo 2

No Passo anterior, vemos que nossa curva é segue a equação y = x 2 que é a equação de uma parábola. Fazendo um esboço:

Passo 3

Para finalizar, ele nos pede para encontrarmos a parametrização com a orientação no sentido contrário.

r → t = t - 1 ,   t 2 - 2 t + 1

Repare que estamos com valores de t ∈ - 1,2 . Então para pegarmos o sentido contrário, vamos trocar t por 2 - t . Assim,

f → t = 2 - t - 1 ,   2 - t 2 - 2 2 - t + 1

Fazendo as contas:

f → t = 1 - t ,   t 2 - 2 t + 1

Portanto,

f → t = 1 - t ,   t 2 - 2 t + 1 , t ∈ - 1,2

Resposta

f → t = 1 - t ,   t 2 - 2 t + 1 , t ∈ - 1,2

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