Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 1.2 - Ex. 1f

Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.

Passo 1

Esse item nos fornece as seguintes equações paramétricas:

Vamos começar substituindo o parâmetro das equações paramétricas por alguns valores do intervalo :

Passo 2

Esboçando a curva descrita pelas equações paramétricas a partir dos pontos presentes na tabela chegaremos em algo parecido com isso:

Passo 3

Para determinarmos a equação cartesiana dessa curva a partir do par de equações paramétricas devemos eliminar o parâmetro , para isso devemos nos lembrar da seguinte identidade trigonométrica:

Tendo isso como base, podemos realizar as seguintes manipulações na equação :

Onde nessa forma é possível identificar uma possível substituição já que :

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja C a curva parametrizada por σ t = cos ⁡ t , sin ⁡ t , 1 - 2 sin ⁡ t ,0 ≤ t ≤ 2 π .b) Determine a equação da reta tangente à curva no ponto - 1,0 , 1 .

A astríde x 2 3 + y 2 3 = 2 2 3 tem equações paramétricas x = 2 cos 3 ⁡ t , y = 2 sin 3 ⁡ t , t ∈ 0,2 π (exercício 8). Escreva uma equação da reta tangente à astróide no ponto correspondente a t = π 4

Mostre que, se σ tt ∈ I é uma parametrização de uma reta, então σ ' ' t é paralelo a σ ' t .

Seja a função vetorial definida por: σ t = 2 t 1 + t 2 , 1 - t 2 1 + t 2 , 1 Mostre que o ângulo entre σ t e σ ' t é constante, isto é, independe de t .

Se a = 4 b no exercício 7 , temos uma hipociclóide de quatro cúspides ou astróide. (Veja um esboço da astróide na figura 1.13 . )b) Determine a equação cartesiana da astróide a partir de suas equações