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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.8 - Ex. 15c

Esboçar o gráfico da curva descrita por um ponto móvel P x ,   y , quando o parâmetro t varia no intervalo dado. Determinar a equação cartesiana da curva em cada um dos itens:

c) x = 2 + 4 . s e n   t ,   y = 3 - 2 . cos ⁡ t   0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 1

Então pessoal, a estratégia que vamos utilizar para determinar a equação cartesiana da curva será: como x e y estão escritos em termos de seno e cosseno, vamos utilizar a relação fundamental da trigonometria para escrever tudo em uma expressão só, tudo bem? A relação é:

s e n 2 x + c o s 2 x = 1

Sabendo disso, então bora pra cima agora!

Passo 2

Se elevarmos x ao quadrado, teremos:

x - 2 2 = 16 . s e n 2 t

s e n 2 t = x - 2 2 16

Se elevarmos y ao quadrado, teremos:

y - 3 2 = 4 . c o s 2 t

c o s 2 t = y - 3 2 4

Substituindo na relação fundamental, teremos:

x - 2 2 16 + 4 . y - 3 2 16 = 1

x - 2 2 + 4 y - 3 2 = 16

E essa é a nossa equação cartesiana.

Passo 3

Da equação que encontramos, temos que se trata de uma elipse de centro em ( 2 ,   3 ) . Se esboçarmos o gráfico, teremos:

E está aí nossa resposta, galera! 😊

Resposta

x - 2 2 + 4 y - 3 2 = 16

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Esboçar o gráfico da curva descrita por um ponto móvel P x ,y , quando o parâmetro t varia no intervalo dado. Determinar a equação cartesiana da curva em cada um dos itens:d) x = t + 1 ,y = t 2 + 4 ,z
Obter a equação cartesiana das seguintes curvas:b) r → t = t - 1 ,t 2 - 2 t + 2
Determinar o centro e o raio das seguintes circunferências e depois escrever uma equação vetorial para cada uma.c) x 2 + y 2 + 5 y - 2 = 0
Determinar o centro e o raio das seguintes circunferências e depois escrever uma equação vetorial para cada uma.b) x 2 + y 2 - 6 x + 8 y = 0
Verificar que a curva: r → t = 3 cosh ⁡ t i → + 5 s e n htj → É a metade de uma hipérbole. Encontrar a equação cartesiana.