Esboçar o gráfico da curva descrita por um ponto móvel P(x, y) , quando o parâmetro t varia no intervalo dado. Determinar a equação cartesiana da curva em cada um dos itens:

c) x = 2 + 4 . sen, y = 3 - 2 . cos(t) 0 ≤ t ≤ 2π

Passo 1

Então pessoal, a estratégia que vamos utilizar para determinar a equação cartesiana da curva será: como x e y estão escritos em termos de seno e cosseno, vamos utilizar a relação fundamental da trigonometria para escrever tudo em uma expressão só, tudo bem? A relação é:

s e n 2 x + c o s 2 x = 1

Sabendo disso, então bora pra cima agora!

Passo 2

Se elevarmos x ao quadrado, teremos:

x - 2 2 = 16 . s e n 2 t

s e n 2 t = x - 2 2 16

Se elevarmos y ao quadrado, teremos:

y - 3 2 = 4 . c o s 2 t

c o s 2 t = y - 3 2 4

Substituindo na relação fundamental, teremos:

x - 2 2 16 + 4 . y - 3 2 16 = 1

x - 2 2 + 4 y - 3 2 = 16

E essa é a nossa equação cartesiana.

Passo 3

Da equação que encontramos, temos que se trata de uma elipse de centro em ( 2 ,   3 ) . Se esboçarmos o gráfico, teremos:

E está aí nossa resposta, galera! 😊

Resposta

x - 2 2 + 4 y - 3 2 = 16

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