Calcular a massa dos sólidos limitados pelas superfícies dadas, considerando a densidade de massa igual a 4kg / m^3 .

z = 4 - x^2 - y^2 e z = x^2 + y^2

Passo 1

Vamos dar uma olhada na figura dessa região primeiro:

Sendo que a que está em azul é a função z = 4 - x 2 - y 2 e a que está em vermelho é a z = 4 - x 2 - y 2 .

Nós queremos da região roxa então (que limitada pelas duas).

Sabemos que a massa de um sólido é dada por:

M = ∭ D δ ( x , y , z )   d V

Sendo que δ ( x , y , z ) é a densidade. Vamos lá então...

Passo 2

Primeiro a gente vai fazer a interseção das duas funções:

z = 4 - x 2 - y 2 z = x 2 + y 2

Daqui a gente vê que a interseção é:

x 2 + y 2 = 2

Ou seja, um círculo (ou um cilindro porque é no espaço) de raio 2 .

Nesse caso a gente vai usar coordenadas cilíndricas. Vai ficar assim:

x = r c o s   θ y = r s e n   θ z = z

Sendo que x 2 + y 2 = r 2 e d x d y d z = r d r d θ d z .

Vemos que nesse caso 0 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Passo 3

Vamos montar a integral da massa agora:

M = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r 2 4 - r 2 4   r d z d r d θ

Agora a gente resolve:

M = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 4 r 4 - r 2 - r 2   d r d θ

M = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 16 r - 8 r 3 d r d θ

M = ∫ 0 2 π 16 r 2 2 - 8 r 4 4 0 2 d θ

M = ∫ 0 2 16 - 8   d θ

M = 8 2 π = 16 π

Pronto! Essa é a massa procurada😉

Resposta

16 π

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