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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.6 - Ex. 1d

  1. Calcular ∬_r^() f (x , y) d x d y , onde:

d) f (x , y) = y ln x ; R é retângulo: 2 <= x <= 3 ; 1 <= y <= 2 .

Passo 1

Calcula a integral iterada:

∬_(1 2)^(2 3) y ln x d x d y

Passo 2

Integrar com relação a x . Trate y como uma constante no primeiro caso, por conta da primeira integral ser em relação a x .

∬_(1 2)^(2 3) y ln x d x d y

int_1^2 y * int_2^3 ln x d x d y

Nesse caro iremos utilizar integral por partes:

u = ln x ⟹ d u = (1)/(x) d x

d v = d x => v = x

int u d v = u v - int v d u

= xln x - int x * (1)/(x) d x

= x l n x - x

Dessa forma,

int_2^3 ln x d x = ((x l n x - x)|_2^3 =

= 3 ln 3 - 3 - 2 ln 2 + 2

= 3 ln 3 - 2 ln 2 - 1

Passo 3

Agora vamos integrar em função de y , levando em conta o valor obtido na integral de x . Assim temos:

int_1^2 y ( 3 ln 3 - 2 ln 2 - 1 ) d y =

((3 ln 3 - 2 ln 2 - 1) (y^2)/(2)|_1^2 =

= (3 ln 3 - 2 ln 2 - 1) * ((4)/(2) - (1)/(2))

= (3)/(2) (3 ln 3 - 2 ln 2 - 1)

Resposta

(3)/(2) (3 ln 3 - 2 ln 2 - 1)

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