1. Calcular ∬ r f x , y   d x d y , onde:

d) f(x, y) = y \* ln(x) ; R é retângulo: 2 <= x <= 3; 1 <= y <= 2

Passo 1

Calcula a integral iterada:

∬ 1   2 2   3 y ln ⁡ x d x d y

Passo 2

Integrar com relação a x . Trate y como uma constante no primeiro caso, por conta da primeira integral ser em relação a x .

∬ 1   2 2   3 y ln ⁡ x d x d y

∫ 1 2 y ⋅ ∫ 2 3 ln ⁡ x   d x   d y

Nesse caro iremos utilizar integral por partes:

u = ln ⁡ x ⟹ d u = 1 x d x

d v = d x ⇒ v = x

∫ u d v = u v - ∫ v d u

= xln ⁡ x - ∫ x ⋅ 1 x d x

= x l n   x - x

Dessa forma,

∫ 2 3 ln ⁡ x d x =   x l n   x - x 2 3 =  

= 3 ln ⁡ 3 - 3 - 2 ln ⁡ 2 + 2

= 3 ln ⁡ 3 - 2 ln ⁡ 2 - 1

Passo 3

Agora vamos integrar em função de y , levando em conta o valor obtido na integral de x . Assim temos:

∫ 1 2 y ( 3 ln ⁡ 3 - 2 ln ⁡ 2 - 1 )   d y =

3 ln ⁡ 3 - 2 ln ⁡ 2 - 1 y 2 2 1 2 =

= 3 ln ⁡ 3 - 2 ln ⁡ 2 - 1 ⋅ 4 2 - 1 2

= 3 2 3 ln ⁡ 3 - 2 ln ⁡ 2 - 1

Resposta

3 2 3 ln ⁡ 3 - 2 ln ⁡ 2 - 1

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