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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 1c

Seja A o retângulo 1 <= x <= 2 , 0 <= y <= 1 . Calcule ∬_A f (x , y) d x d y , sendo f (x , y) igual a :

c) sqrt(x + y)

Passo 1

Vamos começar montando a integral. Fica assim oh:

int_0^1 int_1^2 sqrt(x + y) d x d y

Ok, pela ordem a gente integra primeiro em x , vamos considerar y constante por enquanto.

= int_0^1 [(2)/(3) (x + y)^((3)/(2))]_1^2 d y

= int_0^1 (2)/(3) (2 + y)^((3)/(2)) - (2)/(3) (1 + y)^((3)/(2)) d y

Agora vamos integrar em y ...

= (2)/(3) int_0^1 (2 + y)^((3)/(2)) - (1 + y)^((3)/(2)) d y

= (2)/(3) [(2)/(5) (2 + y)^((5)/(2)) - (2)/(5) (1 + y)^((5)/(2))]_0^1

= (2)/(3) ((2)/(5)) [3^((5)/(2)) - 2^((5)/(2)) - 2^((5)/(2)) + 1^((5)/(2))]_0^1

= (4)/(15) [9 sqrt(3) - 8 sqrt(2) + 1]

Prontinho! Está calculada nossa integral😉

Resposta

(4)/(15) [9 sqrt(3) - 8 sqrt(2) + 1]

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