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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 1h

Seja A o retângulo 1 <= x <= 2 , 0 <= y <= 1 . Calcule ∬_A f (x , y) d x d y , sendo f (x , y) igual a :

h) (1)/((x + y)^2)

Passo 1

Vamos começar montando a integral. Fica assim oh:

int_0^1 int_1^2 (1)/((x + y)^2) d x d y

Ok, pela ordem a gente integra primeiro em x , e vamos considerar o y constante por enquanto...

Integrando em x :

int_0^1 [- (1)/(x + y)]_1^2 d y

= int_0^1 - (1)/(2 + y) + (1)/(1 + y) d y

Passo 2

Integrando em y agora...

= [- ln (2 + y) + ln ( 1 + y )]_0^1

= - ln 3 + ln 2 + ln 2 - ln ( 1 )

= - ln 3 + 2 ln 2

Podemos dar uma organizada nessa resposta ainda, pelas propriedades do logaritmo:

- ln 3 + 2 ln 2 = ln 2^2 - ln 3 =

= ln 4 - ln 3 = ln (4)/(3)

Prontinho!

Resposta

ln (4)/(3)

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