Resolver o Exercício 27 para f → (3xy, 4yz, 2xy)

Passo 1

Mas o que pede o exercício 27? Dado um campo vetorial vec f , do ponto A ( 0,0 , 0 ) ao B ( 1,1 , 2 ) , calcular (a) o segmento de reta que une os dois pontos; (b) intersecção das superfícies z = x^2 + y^2 e x = y ; (c) poligonal A C B , onde C = ( 3,3 , 1 ) .

Passo 2

  1. Para calcularmos a integral de linha no seguimento dado, devemos inicialmente parametrizar a reta. Do ponto A ao B podemos fazer vec r (t) = (t , t , 2 t) com t in [0,1] e consequentemente d vec r = (d t , d t , 2 d t)
  2. Logo fazendo

    int_A^B vec f * d vec r = int_0^1 vec f (vec r (t)) * d vec r (t) = int_0^1 (6 t^2 , 8 t^2 , 2 t^2) * (d t , d t , 2 d t)

    Logo teremos

    int_0^1 18 t^2 d t = [6 t^3]_0^1 = 6

    Passo 3

  3. A intersecção de duas superfícies deve gerar um caminho e é nele que iremos caminhar. Mas qual é o caminho?
  4. A intersecção nos da

    z = 2 x^2

    Logo teremos

    vec r (t) = (t , t , 2 t^2)

    com t in [0,1]

    int_A^B vec f * d vec r = int_0^1 vec f (vec r (t)) * d vec r (t) = int_0^1 (6 t^3 , 8 t^3 , 2 t^2) * (d t , d t , 4 t d t)

    Logo teremos

    int_0^1 22 t^3 d t = [(11)/(2) t^4]_0^1 = (11)/(2)

    Passo 4

  5. Por fim o poligonal A C B onde C = ( 3,3 , 1 )

Assim teremos na verdade duas retas formando nosso caminho. No seguimento A C , temos vec r (t) = ( 3 t , 3 t , t ) e no seguimento C B temos vec r (t) = (3 - 2 t , 3 - 2 t , 2 - t)

Assim podemos dividir nossa integral em duas partes e fazemos primeiro pra A C

int_A^C vec f * d vec r = int_0^1 vec f (vec r (t)) * d vec r (t) = int_0^1 (9 t^2 , 12 t^2 , 18 t^2) * (3 d t , 3 d t , d t)

Assim ficamos com

int_0^1 153 t^2 d t = [(153 t^3)/(3)]_0^1 = (153)/(3) = 51

E para C B teremos

int_0^1 vec f (vec r (t)) * d vec r (t) = int_0^1 (3 ( 3 - 2 t ) ( 1 + t ) , 4 ( 3 - 2 t ) ( 1 + t ) , 2 (3 - 2 t)^2) * (- 2 d t , - 2 d t , d t)

Que de maneira resumida nos da

int_0^1 vec f (vec r (t)) * d vec r = - 55

Ficando com o valor da nossa integral em - 4

Resposta

  1. 6
  2. 11/2
  3. - 4
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