Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.4 - Ex. 28

Resolver o Exercício 27 para vec f = ( 3 x z , 4 y z , 2 x y )

Passo 1

Mas o que pede o exercício 27? Dado um campo vetorial vec f , do ponto A ( 0,0 , 0 ) ao B ( 1,1 , 2 ) , calcular (a) o segmento de reta que une os dois pontos; (b) intersecção das superfícies z = x^2 + y^2 e x = y ; (c) poligonal A C B , onde C = ( 3,3 , 1 ) .

Passo 2

  1. Para calcularmos a integral de linha no seguimento dado, devemos inicialmente parametrizar a reta. Do ponto A ao B podemos fazer vec r (t) = (t , t , 2 t) com t in [0,1] e consequentemente d vec r = (d t , d t , 2 d t)

    2. Logo fazendo

    int_A^B vec f * d vec r = int_0^1 vec f (vec r (t)) * d vec r (t) = int_0^1 (6 t^2 , 8 t^2 , 2 t^2) * (d t , d t , 2 d t)

    Logo teremos

    int_0^1 18 t^2 d t = [6 t^3]_0^1 = 6

    Passo 3

  2. A intersecção de duas superfícies deve gerar um caminho e é nele que iremos caminhar. Mas qual é o caminho?

    3. A intersecção nos da

    z = 2 x^2

    Logo teremos

    vec r (t) = (t , t , 2 t^2)

    com t in [0,1]

    int_A^B vec f * d vec r = int_0^1 vec f (vec r (t)) * d vec r (t) = int_0^1 (6 t^3 , 8 t^3 , 2 t^2) * (d t , d t , 4 t d t)

    Logo teremos

    int_0^1 22 t^3 d t = [(11)/(2) t^4]_0^1 = (11)/(2)

    Passo 4

  3. Por fim o poligonal A C B onde C = ( 3,3 , 1 )

Assim teremos na verdade duas retas formando nosso caminho. No seguimento A C , temos vec r (t) = ( 3 t , 3 t , t ) e no seguimento C B temos vec r (t) = (3 - 2 t , 3 - 2 t , 2 - t)

Assim podemos dividir nossa integral em duas partes e fazemos primeiro pra A C

int_A^C vec f * d vec r = int_0^1 vec f (vec r (t)) * d vec r (t) = int_0^1 (9 t^2 , 12 t^2 , 18 t^2) * (3 d t , 3 d t , d t)

Assim ficamos com

int_0^1 153 t^2 d t = [(153 t^3)/(3)]_0^1 = (153)/(3) = 51

E para C B teremos

int_0^1 vec f (vec r (t)) * d vec r (t) = int_0^1 (3 ( 3 - 2 t ) ( 1 + t ) , 4 ( 3 - 2 t ) ( 1 + t ) , 2 (3 - 2 t)^2) * (- 2 d t , - 2 d t , d t)

Que de maneira resumida nos da

int_0^1 vec f (vec r (t)) * d vec r = - 55

Ficando com o valor da nossa integral em - 4

Resposta

  1. 6
  2. 11/2
  3. - 4
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

8. Calcular ∫ C [ x x 2 + y 2 d x + y x 2 + y 2 d y ] , ao longo dos seguintes caminhos:(c) poligonal ABC com A(1,1), B(3,3) e C(4,1/4);
5. Calcular ∫ C f → ⋅ d r → , onde f → = y x 2 + y 2 , - x x 2 + y 2 , ao longo dos seguintes caminhos:d) circungerência de centro na origem e raio 4, no sentido anti-horário.
4. Verificar que as integrais são independentes do caminho de integração e determinar seus valores.g) ∫ 0,0 π , 1 e y c o s xd x + e y s e n xd y
5. Calcular ∫ C f → ⋅ d r → , onde f → = y x 2 + y 2 , - x x 2 + y 2 , ao longo dos seguintes caminhos:a) circunferência de centro em (4,4) e raio 2, no sentido anti-horário;
4. Verificar que as integrais são independentes do caminho de integração e determinar seus valores.e) ∫ 1,1 , 1 1,2 , 3 [ 2 xs e n zd x + z 3 - e y d y + x 2 c o s z + 3 y z 2 d z ]