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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 17

Represente graficamente a equação seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

y = x 4 - 2 x 2 = x 2 ( x 2 - 2 )

Passo 1

Primeiramente, vemos que a função é um polinômio, logo seu domínio é R .

Vamos calcular a derivada primeira e segunda da função:

y ' = 4 x 3 - 4 x = 4 x ( x 2 - 1 )

y ' ' = 12 x 2 - 4

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y ' = 4 x x 2 - 1 = 0

4 x = 0 → x = 0

x 2 - 1 = 0 → x 2 = 1 → x = ± 1

E pelo teste da derivada segunda, y ' ' 0 = - 4 < 0 , e y ' ' - 1 = 8 > 0   e y ' ' 1 = 8 > 0 .  

Então, temos um ponto máximo em 0 ,   y 0 = ( 0,0 ) ,um ponto mínimo em 1 ,   y 1 = ( 1 ,   - 1 ) e outro mínimo em ( - 1 ,   - 1 )

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.

y ' =   4 x ( x 2 - 1 )

Sabemos que a função resulta em zero quando x = 0 e x = ± 1 . Vamos fazer uma análise de sinal então...

Então, a função é crescente em ( - 1,0 ) e ( 1 , ∞ ) e decrescente em ( - ∞ , - 1 )   e   ( 0,1 ) . Vejamos a concavidade...

Nossa derivada deu y ' ' = 12 x 2 - 4 , então:

12 x 2 - 4 > 0 → x 2 > 4 12 → x > 4 12 = 1 3   e   x <   - 4 12 =   - 1 3    

Então a concavidade é para cima quando x > 1 3   e   x < - 1 3 e para baixo quando x   está no intervalo de - 1 3   ,   1 3   .

Passo 4

A função:

  • Corta o eixo x em: x 2 x 2 - 2 = 0 → x = 0   o u   x 2 - 2 = 0 → x 2 = 2 → x = ± 2

    • Temos os pontos ( 0,0 ) , ( - 2 ,   0 ) ,   ( 2 ,   0 )

  • Corta o eixo y em: x → 0 4 - 2 0 2 = 0

Ponto (0,0).

Passo 5

Juntando as informações, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Ache f ' ( x ) . Compare os gráficos de f e f ' e use-os para explicar por que sua resposta é razoável. f x = e x - 5 x
Ache f ' ( x ) . Compare os gráficos de f e f ' e use-os para explicar por que sua resposta é razoável. f x = 3 x 1 5 - 5 x 3 + 3