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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 13

Represente graficamente a equação seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

y = - 2 x 3 + 6 x 2 - 3

Passo 1

Primeiramente, vemos que a função é um polinômio, logo seu domínio é R .

Vamos calcular a derivada primeira e segunda da função:

y ' = - 6 x 2 + 12 x =   - 6 x ( x - 2 )

y ' ' = - 12 x + 12 =   - 12 ( x - 1 )

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y ' = - 6 x x - 2 = 0

- 6 x = 0 → x = 0

x - 2 = 0 → x = 2

E pelo teste da derivada segunda, y ' ' 0 = 12 > 0 , e y ' ' 2 = - 12 < 0   . Então, temos um ponto máximo em 2 ,   y 2 = ( 2 ,   5 ) e um ponto mínimo em ( 0 , - 3 ) .

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.

y ' = - 6 x 2 + 12 x

Sabemos que a função resulta em zero quando x = 0 e x = 2 . Vamos fazer uma análise de sinal então...

Então, a função é crescente em ( 0,2 ) e decrescente em ( - ∞ , 0 )   e   ( 2 , ∞ ) . Vejamos a concavidade...

Nossa derivada deu y ' ' = - 12 ( x - 1 ) então:

- 12 x - 1 > 0 → x - 1 < 0 → x < 1  

Então a concavidade é para cima quando x < 1 e para baixo quando x > 1 .

Passo 4

A raiz não é exata, então veremos só onde a função corta o eixo y :

x → 0 =   = - 2 x 3 + 6 x 2 - 3 → - 3

Ponto (0,-3).

Passo 5

Juntando as informações e os pontos encontrados, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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