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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.5 - Ex. 14

Esboce o gráfico.

y = e^x - e^(3 x)

Passo 1

Primeiro vamos determinar o domínio, temos aqui que é D_f = R .

Agora vamos achar os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos usar a regra do polinômio e da função exponencial para achar f^' (x) :

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ( x ) '

Vamos então aplicar:

f^' (x) = (e^x - e^(3 x))^' = e^x - e^(3 x) (3 x)^' = e^x - 3 e^(3 x)

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de f^' (x) :

e^x - 3 e^(3 x) = 0 -> x = - (ln 3)/(2)

Temos que f^' (x) > 0 em:

]- oo , - (ln 3)/(2)[

E f^' (x) < 0 em:

]- (ln 3)/(2) , + oo[

Como f é contínua temos que:

f é estritamente crescente em ]- oo , - (ln 3)/(2)[

f é estritamente decrescente em ]- (ln 3)/(2) , + oo[

Passo 3

Vamos achar os pontos de inflexão e como se comporta a concavidade através de f^(' ') (x) :

f^(' ') (x) = f^' (f^' (x)) = (e^x - 3 e^(3 x))^' = e^x - 3 e^(3 x) * 3 = e^x - 9 e^(3 x)

f^(' ') (x) > 0 em todo x , tendo a concavidade voltada para cima.

Não possui ponto de inflexão.

Passo 4

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de f para x -> + oo e x -> - oo :

underset(x -> + oo)(lim) e^x - e^(3 x) = - oo

underset(x -> - oo)(lim) e^x - e^(3 x) = 0

Passo 5

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

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