a. Identifique os extremos locais de cada função nos intervalos dados e informe onde eles ocorrem.

b. Na mesma tela, esboce os gráficos da função e de sua derivada. Comente o comportamento de f em relação aos sinais e valores de f' .

f(x) = -2 * cos(x - cos^2(x)), -pi ≤ x ≤ pi

Passo 1

Vamos começar identificando os pontos críticos da função através da derivada primeira.

f ' x = 2   s e n   x - 2 cos ⁡ x   - s e n   x  

f ' x = 2   s e n   x + 2 cos ⁡ x   s e n x  

Passo 2

Para achar os pontos críticos, vamos igualar a derivada a zero.

f ' x = 2   s e n   x + 2 cos ⁡ x   s e n x   = 0

f ' x = 2 s e n x   1 + c o s x = 0  

2   s e n   x = 0   o u   1 + c o s   x = 0

s e n   x = 0 → x =   - π   o u   0  

cos ⁡ x =   - 1 → x = π   o u   0

Achamos o nossos pontos críticos.

Vamos fazer nossa análise de sinal dentro do nosso intervalo:

Passo 3

E temos que: f 0 = - 3 ; f - π = 1 ; f π = 1

Então temos pontos de máximo local quando x = ± π e ponto de mínimo local quando x = 0 , em que a função vale -3.

Passo 4

b) Gráficos:

Vemos que quando f ' < 0 , a função f é decrescente, e quando f ' > 0 a função é crescente, e também vemos o ponto de mínimo em x=0.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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