Esboce o gráfico da função y = y(x), x ∈ R Sabendo que

a) dy/dx = 2x - 1 e y(0) = 0

Passo 1

Se temos:

d y d x = 2 x - 1

Podemos dizer que:

d y = 2 x - 1 d x

∫ d y = ∫ 2 x - 1 d x

y = ∫ 2 x - 1 d x

Passo 2

Agora que achamos uma maneira de encontrar y x vamos fazer a integral e achar a função:

y = ∫ 2 x - 1 d x = 2 × x 2 2 - x + k

y x = x 2 - x + k

Se quisermos y 0 , vamos substituir na equação:

y 0 = 0 2 - 0 + k = k

Como o exercício disse que y 0 = 0 , então podemos igualar os valores de y 0 e achar o valor de k:

0 = k

Então:

y x = x 2 - x

Passo 3

Agora que temos a função precisamos do gráfico

Para equação de segundo grau precisamos de alguns dados. O primeiro é se a > 0   o u   a < 0 , pro nosso caso a = 1 → a > 0 ;

O segundo são os valores em que x = 0 , calculamos assim:

x 2 - x = 0 → x x - 1 = 0 → x = 1 x = 0

E podemos usar a integral pra achar os valores de mínimo do gráfico:

d y d x = 2 x - 1

2 x - 1 = 0 → x = 1 2

Vamos na equação e substituímos esse x por 1 2 e achamos o y mínimo também:

y 1 2 = 1 2 2 - 1 2 = 1 4 - 1 2 = 1 - 2 4 = - 1 4

Então agora temos os pontos em que y = 0 , o ponto de mínimo e o lado da concavidade, assim o desenho fica:

Resposta

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