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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 10f

Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com função de posição x = x t ,   t ≥ 0 . Determine x = x t , sabendo que

f )   d 2 x d t 2 = sen ⁡ 3 t ,   v 0 = 0   e   x 0 = 0

Passo 1

Sabemos que a velocidade pode ser interpretada como a derivada temporal da posição, se tomamos x = x t como função da posição, então:

v t = d x d t

Ou seja, a integral de d 2 x d t 2 descreve a velocidade:

v t = ∫ sen ⁡ 3 t d t

Usando a substituição u = 3 t → d u = 3 d t , teremos:

1 3 ∫ sen ⁡ u d u = - 1 3 cos ⁡ u + k

Voltando pra variável t :

- 1 3 cos ⁡ u + k = - 1 3 cos ⁡ 3 t + k

Passo 2

Ok! Agora temos a função da velocidade:

v t = - 1 3 cos ⁡ 3 t + k

Precisamos achar o valor de k , assim:

v 0 = - 1 3 cos ⁡ 3 0 + k = - 1 3 1 + k = - 1 3 + k

O exercício nos deu que v 0 = 0 , então igualamos:

v 0 = 0 = - 1 3 + k → k = 1 3

Assim:

v t = - 1 3 cos ⁡ 3 t + 1 3

Passo 3

Se v t = d x d t

Então:

∫ v t d t = ∫ d x = x t

x t = ∫ v t d t = ∫ - 1 3 cos ⁡ 3 t + 1 3 d t

Vamos usar, novamente, a substituição u = 3 t → d u = 3 d t

1 3 ∫ - cos ⁡ 2 t + 1 d t = 1 9 ∫ - cos ⁡ u + 1 d u = 1 9 - sen ⁡ u + u + c

Voltando pra variável t :

1 9 - sen ⁡ 3 t + 3 t + c = - 1 9 sen ⁡ 3 t + t 3 + c

Assim:

x t = - 1 9 sen ⁡ 3 t + t 3 + c

x 0 = - 1 9 sen ⁡ 3 0 + 0 3 + c = c

E x 0 = 0

Assim, se igualarmos os valores de x 0 , teremos:

0 = c

Logo:

x t = - 1 9 sen ⁡ 3 t + t 3

Resposta

x t = - 1 9 sen ⁡ 3 t + t 3

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