Enunciado

Esboce os gráficos de y = 1 - x 2 , y = cos ⁡ x e y = f x , onde f é uma função qualquer que satisfaz a desigualdade:

1 - x 2 ≤ f x ≤ cos ⁡ x

Para todo x no intervalo - π 2 , π 2 . O que você pode dizer sobre o limite de f x quando x → 0 ? Explique seu raciocínio.

Passo 1

Então galera, se esboçarmos os gráficos de y = 1 - x 2 , y = cos ⁡ x e y = f x , teremos o seguinte:

No qual a função em verde é y = 1 - x 2 e a função em azul é y = cos ⁡ x . Aqui vale ressaltar que a função y = f x é uma função que está entre essas duas funções, ou seja, no meio delas! Tudo bem, a primeira parte foi feita.

Passo 2

Para todo x no intervalo - π 2 , π 2 temos que o limite de f x para x se aproximando de zero será:

lim x → 0 ⁡ f x = 1

Oxe, mas por que esse é o resultado? Utilizando a noção do Teorema do Confronto, temos que as duas funções que estão “esmagando” a nossa f x estão se aproximando desse mesmo valor, então a consequência é que f x também se aproxima de 1 para o intervalo dado! E essa é a nossa resposta, galera!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Sejam f x = x 2 e p ≠ 0 .a) Verifique que x 3 - p 3 ≤ 7 p 2 x - p para x ≤ 2 p b) Conclua de (a) que f é contínua em p .
Suponha que f e g contínuas em R e que exista a0 , a ≠ 1 , tal que para todo r racional f r = a r e g r = a r . Prove que f x = g x em R
Seja f (x) = x^3 + x . Prove quea) |f (x) - f (2)| = 20 |x - 2| para 0 = x = 3 b) f é contínua em 2
Determine L para que a função dada seja contínua no ponto dado. Justifique. f x = x - 3 x - 3 s ex ≠ 3 L s ex = 3 em p = 3
Determine L para que a função dada seja contínua no ponto dado. Justifique. f x = x - 5 x + 5 - 10 s ex ≠ 5 L s ex = 5 em p = 5