Esboce os gráficos de y = 1 - x^2 , y = cos(x) e y = f(x) , onde f é uma função qualquer que satisfaz a desigualdade:

1 - x^2 ≤ f(x) ≤ cos(x)

Para todo x no intervalo (-π/2, π/2) . O que você pode dizer sobre o limite de f(x) quando x → 0 ? Explique seu raciocínio.

Passo 1

Então galera, se esboçarmos os gráficos de y = 1 - x 2 , y = cos ⁡ x e y = f x , teremos o seguinte:

No qual a função em verde é y = 1 - x 2 e a função em azul é y = cos ⁡ x . Aqui vale ressaltar que a função y = f x é uma função que está entre essas duas funções, ou seja, no meio delas! Tudo bem, a primeira parte foi feita.

Passo 2

Para todo x no intervalo - π 2 , π 2 temos que o limite de f x para x se aproximando de zero será:

lim x → 0 ⁡ f x = 1

Oxe, mas por que esse é o resultado? Utilizando a noção do Teorema do Confronto, temos que as duas funções que estão “esmagando” a nossa f x estão se aproximando desse mesmo valor, então a consequência é que f x também se aproxima de 1 para o intervalo dado! E essa é a nossa resposta, galera!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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