Suponha que e contínuas em e que exista , , tal que para todo racional e . Prove que em
Passo 1
Nesse caso, e são iguais para todo racional. Dizer que para um irracional é um absurdo já que pelo teorema da conservação do sinal, existirá tal que para e sabemos que nesse intervalo temos pelo menos um número racional e nesse ponto o valor de não satisfaz .
Passo 2
Logo, se adotarmos , a função não será contínua, mas como o enunciado determina que e são contínuas em , temos que ter, obrigatoriamente, para todo irracional.
Se para todo número racional e irracional, então isso acontece em todo número real.
Portanto, provamos que em
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)