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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.2 - Ex. 27

Sejam f x = x 2 e p ≠ 0 .

a) Verifique que x 3 - p 3 ≤ 7 p 2 x - p para x ≤ 2 p

b) Conclua de (a) que f é contínua em p .

Passo 1

a) Para verificarmos a afirmação devemos desenvolver o primeiro termo:

x 3 - p 3

Para uma diferença de dois números ao cubo, vale a afirmação:

a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Logo:

x 3 - p 3 = x - p x 2 + x p + p 2 = x - p x 2 + x p + p 2

Por propriedade, o módulo da soma será sempre menor ou igual à soma dos módulos:

x 2 + x p + p 2 ≤ x 2 + x p + p 2

x 2 + x p + p 2 ≤ x 2 + p 2 + x p

Para x ≤ 2 p :

x p ≤ 2 p p

x p ≤ 2 p 2

Bem como

x 2 ≤ 2 p 2

x 2 ≤ 4 p 2

Somando as inequações x p ≤ 2 p 2 e x 2 ≤ 4 p 2 , temos:

x p + x 2 ≤ 2 p 2 + 4 p 2

x p + x 2 ≤ 6 p 2

Passo 2

Como queremos comparar com x 2 + p 2 + x p , basta somar p 2 nos dois lados da inequação:

x p + x 2 + p 2 ≤ 7 p 2

Se mostramos anteriormente que x 2 + x p + p 2 ≤ x 2 + p 2 + x p , então:

x 2 + x p + p 2 ≤ x 2 + p 2 + x p ≤ 7 p 2

x 2 + x p + p 2 ≤ 7 p 2

Podemos multiplicar por x - p :

x 2 + x p + p 2 x - p ≤ 7 p 2 x - p

x 3 - p 3 ≤ 7 p 2 x - p

Logo, provamos que para x ≤ 2 p temos x 3 - p 3 ≤ 7 p 2 x - p

Passo 3

b) Como provamos que x 3 - p 3 ≤ 7 p 2 x - p

Podemos tomar δ = ϵ 7 p 2 , de modo que para qualquer - 2 p ≤ x ≤ 2 p temos que x - p < δ implica em x 3 - p 3 < ϵ , e portanto, f é contínua em p .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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