Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a.

∫ 0 π / 2 ∫ 0 4 cos ⁡ θ r   d r   d θ

Passo 1

Fala, gente bonita! Tudo beleza??

Então, o enunciado pede pra gente esboçar a região cuja área é dada por essa integral aqui, olha só:

∫ 0 π / 2 ∫ 0 4 cos ⁡ θ r   d r   d θ

Precisamos calculá-la e achar a área, show?

Passo 2

Observa bem a integral. Por conta daquele r d r d θ , a gente sabe que estamos trabalhando com coordenadas polares. Relembrando alguns termos:

x = r c o s   θ

y = r s e n   θ

z = z

r 2 = x 2 + y 2

d A = r   d r   d θ

A região que estamos calculando corresponde à metade superior da circunferência de centro ( 2,0 ) e raio 2 .

Mas de onde veio isso?

De fato, note que

r = 4 cos ⁡ θ

Se acrescentarmos r dos dois lados...

r 2 = 4   r cos ⁡ θ

E sabendo quem é cada um dos termos:

x 2 + y 2 = 4 x

Organizando, teremos:

x - 2 2 + y 2 ⏟ r 2 = 4

Com θ variando no intervalo 0 , π 2 , r ≥ 0 , o que restringe o domínio ao primeiro quadrante. Se θ pudesse variar até π , teríamos um círculo completo com o quarto quadrante.

Passo 3

Para descobrir a área, calculamos primeiro a integral de dentro

∫ 0 π / 2 ∫ 0 4 cos ⁡ θ r   d r d θ  

Resolvendo...

r 2 2 0 4 c o s θ = 8 cos 2 ⁡ θ

Agora resolvendo a integral de fora, ou seja, em relação a θ :

∫ 0 π / 2 8 cos 2 ⁡ θ d θ

Colocando o 8 para fora da integral, descobriremos uma identidade trigonométrica na qual iremos fazer uma substituição:

8 ∫ 0 π / 2 cos 2 ⁡ θ d θ

8 ∫ 0 π 2 1 + cos 2 θ 2 ��   d θ

Organizando um pouco mais, teremos

8 2 ∫ 0 π 2 1 + cos 2 θ ⁡   d θ

Onde podemos dividir essa integral em duas

4 ∫ 0 π 2 1 d θ + ∫ 0 π 2 cos 2 θdθ ⁡  

4 θ + 2 s e n 2 θ 0 π 2 = 2 π

Ou, de um outro modo, podemos dizer que a integral será igual a área de metade de um círculo de raio 2 :

A = 1 2 π ⋅ 2 2 = 2 π

Belezinha? 😊

Resposta

2 π

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