3) Calcular ∬ R d x   d y 1 + x 2 + y 2 onde R é a região da Figura 7.34.

Passo 1

Ao analisar o gráfico, temos:

0 ≤ r ≤ 2

? ≤ θ ≤ ?

Pelas coordenadas polares, temos que:

x = r ⋅ cos ⁡ θ

y = r ⋅ sen ⁡ θ

Então para achar os valores de θ , temos que:

y = x

r ⋅ cos ⁡ θ = r ⋅ s e n θ

c o s θ = s e n θ

Isso acontece quando o ângulo é de - π , e o outro, pelo gráfico, podemos ver que o ângulo final é de π 4 . (CUIDADO para não confundir e inverter... senão vai calcular da parte branca)

- π ≤ θ ≤ π 4

Passo 2

Show, agora que temos as coordenadas polares e os limites de integração, vamos substituir e colocar na nossa nova integral! Não podemos esquecer do Jacobiano!

J a c o b i a n o = r

Dessa forma, temos:

x 2 + y 2 = r 2 ⋅ cos 2 ⁡ θ + r 2 ⋅ sen 2 ⁡ θ

cos 2 ⁡ + sen 2 ⁡ = 1

Logo,

= r 2 ⋅ cos 2 ⁡ θ + r 2 ⋅ sen 2 ⁡ θ = r 2

Dessa forma, temos:

∬ 0 - π 2   π 4 r 1 + r 2 d θ   d r

Passo 3

Primeiro vamos integrar com relação a θ ,

∫ - π π 4 r 1 + r 2   d θ

Como estamos integrando em relação a θ , temos que esses r ’s todos ai são constantes, então ficamos com

π 4 - - π ⋅ r 1 + r 2 5 π 4 r 1 + r 2

Passo 4

Agora vamos integrar em relação a r ,

5 π 4 ∫ 0 2 r 1 + r 2 d r   =

Vamos fazer uma substituição simples, chamar

1 + r 2 = u

d u = 2 r d r

5 π 4 ⋅ ∫ 1 u ⋅ d u 2

5 π 8 ⋅ ln ⁡ u

Vamos voltar com a nossa substituição

5 π 8 ⋅ ln ⁡ r 2 + 1 0 2  

5 π 8 ⋅ ln ⁡ 2 2 + 1 - ln ⁡ 0 2 + 1

5 π 8 ⋅ ln ⁡ 5 - ln ⁡ 1

Isso dá pra gente

5 π 8 ⋅ ln ⁡ 5

Resposta

5 π 8 ⋅ ln ⁡ 5

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