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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.8 - Ex. 3

3) Calcular ∬_R^() (d x d y)/(1 + x^2 + y^2) onde R é a região da Figura 7.34.

Passo 1

Ao analisar o gráfico, temos:

0 <= r <= 2

? <= theta <= ?

Pelas coordenadas polares, temos que:

x = r * cos theta

y = r * sen theta

Então para achar os valores de theta , temos que:

y = x

r * cos theta = r * s e n theta

c o s theta = s e n theta

Isso acontece quando o ângulo é de - pi , e o outro, pelo gráfico, podemos ver que o ângulo final é de (pi)/(4) . (CUIDADO para não confundir e inverter... senão vai calcular da parte branca)

- pi <= theta <= (pi)/(4)

Passo 2

Show, agora que temos as coordenadas polares e os limites de integração, vamos substituir e colocar na nossa nova integral! Não podemos esquecer do Jacobiano!

J a c o b i a n o = r

Dessa forma, temos:

x^2 + y^2 = r^2 * cos^2 theta + r^2 * sen^2 theta

cos^2 + sen^2 = 1

Logo,

= r^2 * cos^2 theta + r^2 * sen^2 theta = r^2

Dessa forma, temos:

∬_(0 - pi)^(2 (pi)/(4)) (r)/(1 + r^2) d theta d r

Passo 3

Primeiro vamos integrar com relação a theta ,

int_(- pi)^((pi)/(4)) (r)/(1 + r^2) d theta

Como estamos integrando em relação a theta , temos que esses r ’s todos ai são constantes, então ficamos com

((pi)/(4) - (- pi)) * (r)/(1 + r^2) (5 pi)/(4) ((r)/(1 + r^2))

Passo 4

Agora vamos integrar em relação a r ,

(5 pi)/(4) int_0^2 (r)/(1 + r^2) d r =

Vamos fazer uma substituição simples, chamar

1 + r^2 = u

d u = 2 r d r

(5 pi)/(4) * int (1)/(u) * (d u)/(2)

(5 pi)/(8) * ln |u|

Vamos voltar com a nossa substituição

(5 pi)/(8) * (ln |r^2 + 1||_0^2

(5 pi)/(8) * (ln |2^2 + 1| - ln |0^2 + 1|)

(5 pi)/(8) * (ln |5| - ln |1|)

Isso dá pra gente

(5 pi)/(8) * (ln |5|)

Resposta

(5 pi)/(8) * (ln |5|)

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