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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.8 - Ex. 5a

5) Usando coordenadas polares, calcular

int_0^4 int_0^(sqrt(4 y - y^2)) ( x^2 + y^2 ) d x d y

Passo 1

Ao analisarmos os limites temos:

x = sqrt(4 y - y^2)

x^2 + y^2 - 4 y = 0

x^2 + y^2 = 4 y

Pelas coordenadas polares, sabemos que:

x = r * cos theta

y = r * sen theta

Portanto:

r^2 * sen^2 theta + r^2 * cos^2 theta = 4 r * sen theta

r^2 = 4 r * sen theta

r = 4 * sen theta

Assim,

0 <= r <= 4 * sen theta

0 <= theta <= (pi)/(2)

Pelas coordenadas polares, temos que:

x = r * cos theta

y = r * sen theta

J a c o b i a n o = r

Dessa forma:

x^2 + y^2 = r^2 * cos^2 theta + r^2 * sen^2 theta

cos^2 + sen^2 = 1

Logo,

= r^2 * cos^2 theta + r^2 * sen^2 theta = r^2

Dessa forma:

int_0^((pi)/(2)) int_0^(4 sen theta) r^2 r d r d theta

Passo 2

Primeiro vamos integrar com relação a r ,

int_0^(4 sen theta) (r^4)/(4) d r = (1)/(4) * 256 sen^4 theta

64 sen^4 theta

Passo 3

Agora vamos integrar em relação a theta ,

int_0^((pi)/(2)) 64 * sen^4 theta d theta =

Aplicando a redução de integrais:

int sen^n (x) d x = - (cos (x) * sen^(n - 1) (x))/(n) + (n - 1)/(n) int sen^(n - 2) ( x ) d x

Logo,

int sen^4 (x) d x = - (cos (x) sen^3 (x))/(4) + (3)/(4) int sen^2 ( x ) d x

Assim,

int_0^((pi)/(2)) sen^2 (x) d x =

sen^2 x = (1 - cos (2 x))/(2) d x

int_0^((pi)/(2)) (1 - cos (2 x))/(2) d x =

Rearranjando a integral, temos:

(1)/(2) int_0^((pi)/(2)) 1 d x - (1)/(2) int_0^((pi)/(2)) cos (2 x) d x =

Passo 4

(1)/(2) int_0^((pi)/(2)) 1 d x - (1)/(2) int_0^((pi)/(2)) cos (2 x) d x =

Vamos resolver a segunda integral pelo método da substituição:

u = 2 x

d u = d x

int cos u d u = sen u

Voltando com a variável u = 2 x :

(sen 2 x|_0^((pi)/(2)) = 0

Voltando com as integrais, temos:

(1)/(2) int_0^((pi)/(2)) 1 d x - (1)/(2) int_0^((pi)/(2)) cos (2 x) d x =

(pi)/(4) + 0

Passo 5

Voltando a integral matriz, onde:

int_0^((pi)/(2)) 64 * sen^4 theta d theta =

int sen^4 (x) d x = - (cos (x) sen^3 (x))/(4) + (3)/(4) int sen^2 ( x ) d x

A segunda parte dessa integral foi resolvida acima, agora vamos resolver a primeira parte:

(- (cos (x) sen^3 (x))/(4)|_0^((pi)/(2)) =

(- 1 * 0)/(4) + (0)/(4) = 0

Juntando os resultados obtidos, temos que:

int_0^((pi)/(2)) 64 * sen^4 theta d theta =

64 * (0 + (3)/(4) * (pi)/(4)) = 64 * ((3 pi)/(16)) =

12 pi

Resposta

12 pi

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