5) Usando coordenadas polares, calcular

∫ 0 4 ∫ 0 4 y - y 2 ( x 2 + y 2 ) d x d y

Passo 1

Ao analisarmos os limites temos:

x = 4 y - y 2

x 2 + y 2 - 4 y = 0

x 2 + y 2 = 4 y

Pelas coordenadas polares, sabemos que:

x = r ⋅ cos ⁡ θ

y = r ⋅ sen ⁡ θ

Portanto:

r 2 ⋅ sen 2 ⁡ θ + r 2 ⋅ cos 2 ⁡ θ = 4 r ⋅ sen ⁡ θ

r 2 = 4 r ⋅ sen ⁡ θ

r = 4 ⋅ sen ⁡ θ

Assim,

0 ≤ r ≤ 4 ⋅ sen ⁡ θ

0 ≤ θ ≤ π 2

Pelas coordenadas polares, temos que:

x = r ⋅ cos ⁡ θ

y = r ⋅ sen ⁡ θ

J a c o b i a n o = r

Dessa forma:

x 2 + y 2 = r 2 ⋅ cos 2 ⁡ θ + r 2 ⋅ sen 2 ⁡ θ

cos 2 ⁡ + sen 2 ⁡ = 1

Logo,

= r 2 ⋅ cos 2 ⁡ θ + r 2 ⋅ sen 2 ⁡ θ = r 2

Dessa forma:

∫ 0 π 2 ∫ 0 4 sen ⁡ θ r 2   r d r   d θ

Passo 2

Primeiro vamos integrar com relação a r ,

∫ 0 4 sen ⁡ θ r 4 4   d r = 1 4 ⋅ 256 sen 4 ⁡ θ  

64 sen 4 ⁡ θ

Passo 3

Agora vamos integrar em relação a θ ,

∫ 0 π 2 64 ⋅ sen 4 ⁡ θ d θ   =

Aplicando a redução de integrais:

∫ sen n ⁡ x d x =   - cos ⁡ x ⋅ sen n - 1 ⁡ x n + n - 1 n ∫ sen n - 2 ⁡ ( x ) d x

Logo,

∫ sen 4 ⁡ x d x =   - cos ⁡ x sen 3 ⁡ x 4 + 3 4 ∫ sen 2 ⁡ ( x ) d x

Assim,

∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ x d x =

sen 2 ⁡ x = 1 - cos ⁡ 2 x 2 d x

∫ 0 π 2 1 - cos ⁡ 2 x 2 d x =

Rearranjando a integral, temos:

1 2 ∫ 0 π 2 1 d x - 1 2 ∫ 0 π 2 cos ⁡ 2 x d x =

Passo 4

1 2 ∫ 0 π 2 1 d x - 1 2 ∫ 0 π 2 cos ⁡ 2 x d x =

Vamos resolver a segunda integral pelo método da substituição:

u = 2 x

d u = d x

∫ cos ⁡ u d u = sen ⁡ u

Voltando com a variável u = 2 x :

sen ⁡ 2 x 0 π 2 = 0

Voltando com as integrais, temos:

1 2 ∫ 0 π 2 1 d x - 1 2 ∫ 0 π 2 cos ⁡ 2 x d x =

π 4 + 0

Passo 5

Voltando a integral matriz, onde:

∫ 0 π 2 64 ⋅ sen 4 ⁡ θ d θ   =

∫ sen 4 ⁡ x d x =   - cos ⁡ x sen 3 ⁡ x 4 + 3 4 ∫ sen 2 ⁡ ( x ) d x

A segunda parte dessa integral foi resolvida acima, agora vamos resolver a primeira parte:

- cos ⁡ x sen 3 ⁡ x 4 0 π 2 =

- 1 ⋅ 0 4 + 0 4 = 0

Juntando os resultados obtidos, temos que:

∫ 0 π 2 64 ⋅ sen 4 ⁡ θ d θ   =

64 ⋅ 0 + 3 4 ⋅ π 4 = 64 ⋅ 3 π 16 =

12 π

Resposta

12 π

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