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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.5 - Ex. 14

Esboce a região cuja área com sinal é representada pela integral definida e calcule a integral usando uma fórmula apropriada de Geometria quando for necessário.

a )   ∫ 0 2 1 - 1 2 x   d x c )   ∫ 2 3 1 - 1 2 x   d x

b )   ∫ - 1 1 1 - 1 2 x   d x     d )   ∫ 0 3 1 - 1 2 x   d x

Passo 1

Vamos esboçar cada uma...

  1. Nessa primeira formou um triângulo, então é só a gente calcular a área do triângulo de base 2   e altura 1 :

    ∫ 0 2 1 - 1 2 x   d x = 2 ⋅ 1 2 = 1

    Passo 2

  2. Agora a gente tem um trapézio. Bora calcular a área dele então:

    ∫ - 1 1 1 - 1 2 x   d x     = 1 2 + 3 2 ⋅ 2 2 = 2

    Passo 3

  3. Vamos pra terceira agora:

    4. Aqui é um triângulo de novo, só que na parte negativa, então a área líquida vai ser negativa!

    ∫ 2 3 1 - 1 2 x   d x = - A =   - 1 ⋅ 1 2 2 =   - 1 4

    Passo 4

  4. Vamos ver essa última agora:

Nesse a gente tem dois triângulos, pra calcular a área líquida, a gente precisa fazer a diferença entre a área positiva e a área negativa. Bora lá então! (esse negativo a gente já calculou ali em cima!)

  ∫ 0 3 1 - 1 2 x   d x = 2 ⋅ 1 2 - 1 4

= 1 - 1 4 = 3 4

Prontinho!!

Resposta

  1. 1
  2. 2
  3. - 1 4
  4. 3 4
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42. Defina a função f em função [ 0,1 ] por f x = 1 ,s e0x ≤ 1 0 ,s ex = 0 Use a definição 5.5.1 para mostrar que ∫ 0 1 f x d x
29-32 Determine se a afirmação falsa é verdadeira ou falsa. Explique a resposta.31- Se a integral de f ( x ) no intervalo [ a , b ] for negativa, então f ( x ) ≤ 0 em cada a ≤ x ≤ b
29-32 Determine se a afirmação falsa é verdadeira ou falsa. Explique a resposta.32- A função f x = 0 ,x ≤ 0 x 2 ,x0 É integrável em qualquer intervalo [ a , b ]
29-32 Determine se a afirmação falsa é verdadeira ou falsa. Explique a resposta.29- Se f ( x ) for integrável em [ a , b ] , então f ( x ) será contínua em [ a , b ] .
37-38 Calcule as integrais completando o quadrado e aplicando as fórmulas apropriadas de geometria.37. ∫ 0 10 10 x - x 2 dx