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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 8.3 - Ex. 28

Esboce a região delimitada pelas curvas, e visualmente estime a localização do centroide. A seguir, calcule as coordenadas exatas do centroide.

y = 1 x ,   y = 0 ,   x = 1 ,   x = 2

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Boa galera, nessa questão queremos encontrar o centroide delimitado pelas curvas.

Para isso, iremos esboçar graficamente e iremos calcular as coordenadas exatas do centroide utilizando as definições do centroide.

Inicialmente quero te mostrar a região com a qual iremos trabalhar:

Passo 2

Por definição, temos que as fórmulas para o centroide de uma região são:

x - = 1 A ∫ x 1 x 2 x f x d x

y - = 1 2 A ∫ x 1 x 2 f x 2 d x

Dessa forma, temos que primeiro calcular a área da região:

A = ∫ 1 2 1 x d x = ln ⁡ x 1 2 = ln ⁡ 2

Passo 3

Calculando utilizando as definições do passo anterior, temos

x - = 1 ln ⁡ 2 ∫ 1 2 x 1 x d x

= 1 ln ⁡ 2 x 1 2

= 1 ln ⁡ 2

y - = 1 2 ln ⁡ 2 ∫ 1 2 1 x 2 d x

= 1 2 ln ⁡ 2 - 1 x 1 2

= 1 4 ln ⁡ 2

Graficamente

Resposta

x - ,   y - = 1 ln ⁡ 2 , 1 4 ln ⁡ 2

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