Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.

∫ 0 3 ∫ - 9 - y 2 9 - y 2 f x , y d x d y

Passo 1

Falaa, pessoal!

Nessa questão a gente precisa desenhar a região de integração dessa integral que ela deu, e depois trocar a ordem de integração (de d x d y para d y d x ).

Pra fazer isso, a gente primeiro vai olhar pros limites de integração de x e y pra conseguir definir a região, que é do tipo II:

a ≤ y ≤ b

g 1 y ≤ x ≤ g 2 ( y )

Depois de desenhar, a gente vai precisar transformar em uma região do tipo I:

c ≤ x ≤ d

h 1 x ≤ y ≤ h 2 x

E ai sim conseguimos mudar a ordem de integração.

Passo 2

A região D é definida assim:

0 ≤ y ≤ 3

- 9 - y 2 ≤ x ≤ 9 - y 2

Ou seja, o x tá entre essas duas curvas:

x = - 9 - y 2

x = 9 - y 2

Percebe que se a gente elevar essa expressão a quadrado, a gente chega da mesma expressão:

x 2 = 9 - y 2 ⇒ x 2 + y 2 = 9

Isso é uma circunferência de raio 3 , centrada na origem. Mas como estamos com y entre 0 e 3 , a região é só metade do círculo:

A curva x = 9 - y 2 é a metade direita da circunferência ( x ≥ 0 ), enquanto x = - 9 - y 2 é a metade esquerda ( x ≤ 0 ).

Passo 3

Agora vamos mudar a ordem de integração!

Como queremos que y esteja entre duas funções de x , vamos voltar pra nossa expressão da circunferência, e isolar o y :

x 2 + y 2 = 9

y 2 = 9 - x 2 ⇒ y = 9 - x 2 y = - 9 - x 2

A primeira expressão é a metade superior da circunferência ( y ≥ 0 ), enquanto a segunda é a parte inferior ( y ≤ 0 ).

Voltando pra nosso desenho:

Como a região D está entre a curva verde ( y = 9 - x 2 ) e o eixo x ( y = 0 ):

0 ≤ y ≤ 9 - x 2

E o x tá variando de - 3 até 3 :

- 3 ≤ x ≤ 3

Então a integral fica assim:

∫ 0 3 ∫ - 9 - y 2 9 - y 2 f x , y d x d y = ∫ - 3 3 ∫ 0 9 - x 2 f x , y d y d x

Resposta

∫ - 3 3 ∫ 0 9 - x 2 f x , y d y d x

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