Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 3 ∫ - 9 - y 2 9 - y 2 f x , y d x d y

∫ - 3 3 ∫ 0 9 - x 2 f x , y d y d x

Enunciado

Falaa, pessoal!

Nessa questão a gente precisa desenhar a região de integração dessa integral que ela deu, e depois trocar a ordem de integração (de para ).

Pra fazer isso, a gente primeiro vai olhar pros limites de integração de e pra conseguir definir a região, que é do tipo II:

Depois de desenhar, a gente vai precisar transformar em uma região do tipo I:

E ai sim conseguimos mudar a ordem de integração.

A região é definida assim:

Ou seja, o tá entre essas duas curvas:

Percebe que se a gente elevar essa expressão a quadrado, a gente chega da mesma expressão:

Isso é uma circunferência de raio , centrada na origem. Mas como estamos com entre e , a região é só metade do círculo:

A curva é a metade direita da circunferência (), enquanto é a metade esquerda ().

Agora vamos mudar a ordem de integração!

Como queremos que esteja entre duas funções de , vamos voltar pra nossa expressão da circunferência, e isolar o :

A primeira expressão é a metade superior da circunferência (), enquanto a segunda é a parte inferior ().

Voltando pra nosso desenho:

Como a região está entre a curva verde () e o eixo ():

E o tá variando de até :

Então a integral fica assim: