Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.3 - Ex. 45
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
Passo 1
Tudo beleza pessoal!? Vamos gabaritar essa juntos, ein!!
Precisamos esboçar a região de integração e mudar a ordem de integração da seguinte integral:
Antes de tudo, para resolver, precisamos lembrar de integral de região do tipo I e tipo II.
Uma região do tipo I é uma região limitada acima e abaixo por uma curva, além disto, é limitada lateralmente por retas verticais.
Já uma região do tipo II é o contrário. É uma região limitada lateralmente por curvas, mas acima e abaixo por retas horizontais.
Devemos primeiro fazer o esboço da região. Com essas informações de região tipo I e II, devemos identificar qual é o tipo de região da integral fornecida, e depois fazer a mudança para o outro tipo.
Vamos lá então!
Passo 2
Primeiro vamos identificar nossa região. Compare a integral fornecida com as do tipo I e II.
Como estamos integrando inicialmente em , significa que estamos trabalhando com uma região do tipo I.
O domínio da mesma é:
Agora que determinarmos a nossa região, podemos esboça-la. Utilizando o Geogebra obtemos:
Onde a região de interesse, e a área em amarelo. Observe que ela está delimitada pelo domínio que escrevemos acima.
Passo 3
Agora que esboçamos a região de integração, e sabemos que ela é do tipo I. Vamos escrevê-la como uma região do tipo II.
Observe novamente a imagem:
Precisamos escrever em função de .
Repare que a região é limitada à esquerda pela reta , à direita pela curva , abaixo por e acima por .
Portanto, a integral correspondente é dada por:
Resposta
