Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.3 - Ex. 48
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
Passo 1
E aí, pessoal! Tudo bem?
A questão pede para traçamos a região de integração de:
A região de integração de uma integral dupla é justamente de onde obtemos os limites de integração, então para encontrar essa região , nós vamos partir dos intervalos de derivação, que são:
E:
É possível observar que estamos trabalhando com uma região do tipo , pois os limites de integração de tem uma função, enquanto nos de só temos constantes. Para mudar a ordem de integração, vamos precisar expressar a região que vamos ter esboçado como uma região do tipo II.
Bora lá!
Passo 2
Como vimos no passo anterior, nossos limites de integração são:
E:
A região de integração está entre a curva e a reta com :
Devemos mudar a ordem de integração e reescrever a integral.
Passo 3
Vamos pensar que agora é uma região do tipo II, onde está entre dois valores constantes e está entre duas funções, que é o contrário da abordagem que fizemos no passo acima.
Como temos:
Para deixar em função de , podemos aplicar a tangente de ambos os lados da equação:
Como , podemos escrever:
Vamos analisar o gráfico do passo 2. Assim, mudando a ordem de integração, vai de (eixo ) até , enquanto varia de a :