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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.3 - Ex. 51

Calcule a integral trocando a ordem de integração.

∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1   d y   d x

Passo 1

E aí, galerinha! De boa?

A questão quer o cálculo de: ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1   d y   d x

Porém, com outra ordem de integração, ou seja, na ordem d x   d y .

Aqui no nosso caso vamos ter que manipular nossos limites de integração da região de integração de forma que a integral de d y fique “pra dentro”.

Então, vamos precisar do gráfico da região D para fazer essa modificação, que a gente consegue através dos limites e integração.

Bora lá!

Passo 2

O primeiro passo é esboçar a região mostrada pelos limites de integração:

0 ≤ x ≤ 4

x ≤ y ≤ 2

Esboçando a região:

y = 2

y = x

Invertendo a ordem de integração, vamos achar uma forma de expressar o intervalo de y entre duas constantes e o de x entre duas funções.

Escrevendo:

y = x

Em função de x , podemos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:

y 2 = x

Invertendo a ordem de integração, temos que x vai de 0 (eixo y ) até x = y 2 , enquanto y vai de 0 até 2 , então nossas integrais ficam:

∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1   d y   d x = ∫ 0 2 ∫ 0 y 2 1 y 3 + 1   d x   d y

Passo 3

∫ 0 2 ∫ 0 y 2 1 y 3 + 1   d x   d y

Fazendo a primeira integral em x , a integral “de dentro” e tratando y como constante.

∫ 0 y 2 1 y 3 + 1   d x  

Tirando as constantes para fora:

1 y 3 + 1 ∫ 0 y 2   d x  

Resolvendo a integral:

1 y 3 + 1 x 0 y 2

Aplicando os limites de integração:

1 y 3 + 1 y 2 - 0 = y 2 y 3 + 1

Passo 4

Agora nosso resultado a integral de dentro passa a ser o integrando da integral de fora:

∫ 0 2 y 2 y 3 + 1   d y

Para facilitar nossa integração, vamos usar uma substituição. Assim, chamamos:

u = y 3 + 1

Derivando, temos que:

d u = 3 y 2   d y

Assim, fazendo a substituição:

∫ y 2 y 3 + 1   d y   = 1 3 ∫ 1 u   d u

Resolvendo a integral:

1 3 ∫ 1 u   d u = 1 3 ( ln ⁡ u )

Voltando à variável inicial:

∫ 0 2 y 2 y 3 + 1   d y = 1 3 ln ⁡ ( y 3 + 1 ) 0 2    

Aplicando os limites de integração:

1 3 ln ⁡ ( 2 3 + 1 ) - ln ⁡ ( 0 + 1 )     = 1 3 ln ⁡ ( 9 ) - 0    

Simplificando:

ln ⁡ ( 9 ) = ln ⁡ ( 3 2 ) = 2 ln ⁡ 3

Então teremos:

∫ 0 2 ∫ 0 y 2 1 y 3 + 1   d x   d y = 2 3 ln ⁡ 3

Resposta

2 3 ln ⁡ 3

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