Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.3 - Ex. 51
Calcule a integral trocando a ordem de integração.
Passo 1
E aí, galerinha! De boa?
A questão quer o cálculo de:
Porém, com outra ordem de integração, ou seja, na ordem .
Aqui no nosso caso vamos ter que manipular nossos limites de integração da região de integração de forma que a integral de fique “pra dentro”.
Então, vamos precisar do gráfico da região para fazer essa modificação, que a gente consegue através dos limites e integração.
Bora lá!
Passo 2
O primeiro passo é esboçar a região mostrada pelos limites de integração:
Esboçando a região:
Invertendo a ordem de integração, vamos achar uma forma de expressar o intervalo de entre duas constantes e o de entre duas funções.
Escrevendo:
Em função de , podemos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:
Invertendo a ordem de integração, temos que vai de (eixo ) até , enquanto vai de até , então nossas integrais ficam:
Passo 3
Fazendo a primeira integral em , a integral “de dentro” e tratando como constante.
Tirando as constantes para fora:
Resolvendo a integral:
Aplicando os limites de integração:
Passo 4
Agora nosso resultado a integral de dentro passa a ser o integrando da integral de fora:
Para facilitar nossa integração, vamos usar uma substituição. Assim, chamamos:
Derivando, temos que:
Assim, fazendo a substituição:
Resolvendo a integral:
Voltando à variável inicial:
Aplicando os limites de integração:
Simplificando:
Então teremos: