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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.1 - Ex. 40

Encontre o volume do sólido limitado pela superfície z = x 2 + x y 2 e os planos z = 0 , x = ± 1 , y = 0 e y = ± 2 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Bom... O volume do sólido é dado a partir da integral dupla da função. Vamos encontrar os limites:

∬ R x 2 + x y 2 d A

∫ - 2 2 ∫ 0 5 x 2 + x y 2 d x d y

Agora é só resolver a integral!

Passo 2

∫ - 2 2 ∫ 0 5 x 2 + x y 2 d x d y

Vamos resolver de dentro para fora:

∫ 0 5 x 2 + x y 2 d x = x 3 3 + x 2 y 2 2 0 5

∫ 0 5 x 2 + x y 2 d x = 5 3 3 + 5 2 y 2 2 - 0 3 3 + 0 2 y 2 2

∫ 0 5 x 2 + x y 2 d x = 125 3 + 25 2   y 2

Substituindo na anterior, temos:

∫ - 2 2 ∫ 0 5 x 2 + x y 2 d x d y = ∫ - 2 2 125 3 + 25 2   y 2 d y

Resolvendo, temos:

∫ - 2 2 125 3 + 25 2   y 2 d y = 125 3 y + 25 2 y 3 3 - 2 2

= 125 3 2 + 25 2 2 3 3   - 125 3 - 2 - 25 2 - 2 3 3

= 250 3 + 200 6 + 250 3 + 200 6

= 500 3 + 400 6

∫ - 2 2 ∫ 0 5 x 2 + x y 2 d x d y = 700 3

Resposta

∫ - 2 2 ∫ 0 5 x 2 + x y 2 d x d y = 700 3

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3 . Utilizando o teorema de Pappus (veja Vol. 1, 5.ª edição), calcule o volumedo sólido obtido pela rotação, em torno da reta dada, do conjunto B dado.b. B é o conjunto de todos (x, y) tais que x 2≤y≤
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