Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas.

0 ≤ r ≤ 2 ,   - π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,   0 ≤ z ≤ 1

Passo 1

Fala, gente boa! Tudo beleza?

A questão pede o esboço do sólido descrito por:

0 ≤ r ≤ 2 ,   - π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,   0 ≤ z ≤ 1

Bom, sabemos que essas desigualdades estão no sistema de coordenadas cilíndricas, que são dadas por:

( r , θ , z )

Então, vamos olhar cada varição de cada variável para entendermos que sólido é esse que tem essas características.

Vem comigo!

Passo 2

Show de bola, galera! Partiu plotar o gráfico dessa região . Só não podemos nos esquecer de que nosso sitema de coordenadas cilíndricas tem a seguinte convenção:

Vamos entender variável por variável:

  • r :
  • Como vemos na imagem acima, r é um raio, uma distância da origem até o ponto que estamos considerando. O enunciado nos deu que:

    0 ≤ r ≤ 2

    Então o que temos aqui é a descrição de uma circunferência de raio 2 no plano x y .

    Passo 3

  • θ :
  • Como vemos na imagen, θ é nosso ângulo no plano x y partindo do eixo x . Como o enunciado nos trouxe que:

    - π 2 ≤ θ ≤ π 2

    Vemos que nosso sólido vai varia de - π 2   ( - 90   ° ) partir do eixo x no horário, por isso está negativo, até π 2 ( 90   ° ) , partindo do eixo x no sentido anti-horário, por isso ficou positivo. Somando o valor absoluto desses ângulos teremos:

    π 2 + π 2 = π

    E π equivale a metade da circunferência.

    Até agora sabemos que nosso sólido é um semicírculo de raio 2. Falta só entendermos a variação desse sólido no eixo z .

    Passo 4

  • z : o enunciado diz que:

  0 ≤ z ≤ 1

Então nosso sólido parte do plano x y , onde z = 0 e vai até o plano z = 1 .

Então, finalemente podemos esboçar nosso sólido.

Semicírculo de raio 2 com altura de z = 1 .

Resposta

Semicírculo de raio 2 com altura de z = 1 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados