Utilize coordenadas cilíndricas.

1. Determine o volume do sólido que o cilindro corta da esfera de raio centrada na origem.
2. Ilustre o sólido da parte (a) desenhando a esfera e o cilindro na mesma tela.

1. Então, bora começar a entender quais limites temos para a região de integração para cada uma das variáveis das coordenas cilíndricas.

• :

Como o sólido parte da origem até o raio total do cilindro, podemos escrever que:

• :

Como vemos na imagem, nosso cilindro, que é quem limita nosso sólido, está entre os valores de (negativo porque parte do eixo no sentido horário) e (positivo porque parte do eixo no sentido anti-horário):

• :

No eixo quem nos limita é o a nossa esfera, que está metade no acima do plano e metade abaixo do plano . Uma esfera de raio tem a seguinte equação, em coordenadas retangulares:

Como estamos lidando com coordenadas cilíndricas, usamos:

Então, podemos substituir uma equação na outra e ficamos com:

Isolando :

Então nossos limites para , serão:

A região de integração é dada por coordenadas cilíndricas:

Então nossa integral será:

Perceba que e tem limites de integração igual com sinais oposto. Podemos calcular só metade desse intervalo, ou seja, de zero até o valor positivos, e multiplicar a integral por 2 que teremos o mesmo resultado.

Vamos calcular a integral, começando em que é a integral “de dentro”, tratando como constante:

Aplicando os limites de integração:

Agora integramos em :

Aplicando os limites de integração:

Colocando em evidência:

Usando a identidade:

Substituímos:

Separando a integral da soma numa soma de integrais:

Vamos calcular as duas separadamente, com a segunda é simples:

Aplicando os limites:

Com a primeira vamos fazer uma manipulação:

Abrindo :

Usando novamente:

Temos:

Vamos agora usar substituição:

Derivando :

Assim vamos ter:

Substituindo:

Integrando e aplicando os limites:

Juntando agora:

Colocando os resultados que acabamos de encontrar no passo anterior:

Então, nosso volume é: