Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.7 - Ex. 13
Uma casca cilíndrica tem cm de comprimento, com raio interno cm e raio externo cm. Escreva desigualdades que descrevam a casca em um sistema de coordenadas adequado. Explique como você posicionou o sistema de coordenadas em relação à casca.
Passo 1
E aí, pessoal! De boa?
A questão pede pra gente escrever a desigualdade que descreve a casca cilíndrica de 20 centímetros de comprimento com raio externo de 6 centímetros e raio interno de centímetros. Essa desigualdade pode ser entendida como as equações que limitam interna e externamente nosso sólido.
Sobre o posicionamento no sistema de coordenadas, a gente simplifica muito nosso problema se colocarmos o eixo da casca coincidindo com o eixo pois assim conseguimos descrever nossa casca em coordenadas cilíndricas. A base nós podemos colocar no plano assim só vamos trabalhar com valores positivos de .
Então, vamos entender quais são as coordenadas cilíndricas do nosso sólido:
Vamos achar uma desigualdade para cada variável a partir dos valores para os quais cada uma está limitada.
Vamo lá!
Passo 2
Podemos posicionar a concha cilíndrica verticalmente de modo que seu eixo coincida com o eixo e sua base esteja no plano .
Se usarmos centímetros como unidade de medida, então as coordenadas cilíndricas descrevem a casca da seguinte forma, o raio varia entre o interno e o raio externo:
O comprimento da casca, que será nosso eixo z, vai variar até 20 cm, sendo assim:
E pra fechar, como temos uma casca cilíndrica, vamos ter um ângulo que começa no zero e vai até completar o círculo, variar assim:
Então nosso sólido será descrito pelas desigualdades: