Esboce o sólido descrito pelas inequações.

0 ≤ theta ≤ (pi / 2), r ≤ z ≤ 2

Passo 1

Fala, pessoal! Tranquilo?

A questão nos dá as inequações:

0 ≤ θ ≤ π 2

E:

r ≤ z ≤ 2

e pede para que a gente esboçar o sólido que a inequação representa. Para isso podemos manipular nossas equações com outras equações do sistema de coordenadas cilíndricas:

r 2 = x 2 + y 2

t a n   θ = y x

z = z

Para x e y , temos:

x = r c o s   θ

  y = r s e n   θ

Até entendermos qual a forma que está sendo descrita pelas inequações.

Vem!

Passo 2

Nesse exercício iremos analisar as seguintes inequações:

0 ≤ θ ≤ π 2 ,   r ≤ z ≤ 2

Sabendo que:

x = r c o s   θ ,   y = r s e n   θ

Da relação fundamental da trigonometria, temos que s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 , então:

x 2 + y 2 = r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2 θ = r 2

Passo 3

Sendo assim, reescrevendo a equação dada no enunciado, temos:

z = r

Como:

r 2 = x 2 + y 2

Isolando r para substituímos na equação z = r :

r = x 2 + y 2

Substituindo:

z = x 2 + y 2

Que representa um cone voltado para cima com vértice na origem. O limitante z ≤ 2 da inequação:

r ≤ z ≤ 2

nos diz que o cone só vai até a altura z = 2 .

Nosso sólido então fica limitado entre:

x 2 + y 2 ≤ z ≤ 2

A restrição

0 ≤ θ ≤ π / 2

nos diz que o sólido está presente somente no primeiro quadrante, ou seja, é limitado pelos planos y = 0 e x = 0 .

Passo 4

O sólido representado pelos limites fornecidos no enunciado é representado a seguir:

Resposta

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